(本题满分9分)将三角形纸片ABC(AB＞AC)沿过点A的直-优题课

题文

(本题满分9分)将三角形纸片ABC(AB＞AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片，如图(1)；再次折叠该三角形纸片，使得点A与点D重合，折痕为EF，再次展平后连接DE、DF，如图2，证明：四边形AEDF是菱形．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：三角形的五心

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如图，将矩形 $ABCD$ （纸片）折叠，使点 $B$ 与 $AD$ 边上的点 $K$ 重合， $EG$ 为折痕；点 $C$ 与 $AD$ 边上的点 $K$ 重合， $FH$ 为折痕．已知 $∠ 1 = 67.5 °$ ， $∠ 2 = 75 °$ ， $EF = \sqrt{3} + 1$ ，求 $BC$ 的长．

某自动化车间计划生产480个零件，当生产任务完成一半时，停止生产进行自动化程序软件升级，用时20分钟，恢复生产后工作效率比原来提高了 $\frac{1}{3}$ ，结果完成任务时比原计划提前了40分钟，求软件升级后每小时生产多少个零件？

我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何．”意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？请解答．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且 $OA = 2$ ， $OB = 8$ ， $OC = 6$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $M$ 从 $A$ 点出发，在线段 $AB$ 上以每秒3个单位长度的速度向 $B$ 点运动，同时，点 $N$ 从 $B$ 出发，在线段 $BC$ 上以每秒1个单位长度的速度向 $C$ 点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当 $ΔMBN$ 存在时，求运动多少秒使 $ΔMBN$ 的面积最大，最大面积是多少？

（3）在（2）的条件下， $ΔMBN$ 面积最大时，在 $BC$ 上方的抛物线上是否存在点 $P$ ，使 $ΔBPC$ 的面积是 $ΔMBN$ 面积的9倍？若存在，求点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知 $AB$ 为 $⊙ O$ 的直径， $AD$ 、 $BD$ 是 $⊙ O$ 的弦， $BC$ 是 $⊙ O$ 的切线，切点为 $B$ ， $OC / / AD$ ， $BA$ 、 $CD$ 的延长线相交于点 $E$ ．

（1）求证： $DC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $AE = 1$ ， $ED = 3$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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