如图，在直角梯形中，∥，，点为坐标原点，点在轴的正半轴上，对-优题课

2022年的冬奥会在北京举行，其中冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受人们喜爱，多地出现了“一墩难求”的场面．某纪念品商店在开始售卖当天提供 $150$ 个“冰墩墩”后很快就被抢购一空，该店决定让当天未购买到的顾客可通过预约在第二天优先购买，并且从第二天起，每天比前一天多供应m个（m为正整数）．经过连续15天的销售统计，得到第 $x$ 天（ $1 \leq x \leq 15$ ，且 $x$ 为正整数）的供应量 $y_{1}$ （单位：个）和需求量 $y_{2}$ （单位：个）的部分数据如下表，其中需求量 $y_{2}$ 与 $x$ 满足某二次函数关系．（假设当天预约的顾客第二天都会购买，当天的需求量不包括前一天的预约数）

第 $x$ 天	$1$	$2$	…	$6$	…	$11$	…	$15$
供应量 $y_{1}$ （个）	$150$	$150 + m$	…	$150 + 5 m$	…	$150 + 10 m$	…	$150 + 14 m$
需求量 $y_{2}$ （个）	$220$	$229$	…	$245$	…	$220$	…	$164$

（1）直接写出 $y_{1}$ 与 $x$ 和 $y_{2}$ 与 $x$ 的函数关系式；（不要求写出 $x$ 的取值范围）

（2）已知从第 $10$ 天开始，有需求的顾客都不需要预约就能购买到（即前 $9$ 天的总需求量超过总供应量，前 $10$ 天的总需求量不超过总供应量），求 $m$ 的值；（参考数据：前 $9$ 天的总需求量为 $2136$ 个）

（3）在第（2）问 $m$ 取最小值的条件下，若每个“冰墩墩”售价为 $100$ 元，求第 $4$ 天与第 $12$ 天的销售额．

如图，已知 $D$ 为 $⊙ O$ 上一点，点 $C$ 在直径 $B A$ 的延长线上， $B E$ 与 $⊙ O$ 相切，交 $C D$ 的延长线于点 $E$ ，且 $B E ＝ D E$ ．

（1）判断 $C D$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若 $A C ＝ 4$ ， $\sin C = \frac{1}{3}$ ，

①求 $⊙ O$ 的半径；

②求 $B D$ 的长．

为落实国家“双减”政策，立德中学在课后托管时间里开展了“音乐社团、体育社团、文学社团、美术社团”活动．该校从全校 $600$ 名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．

根据图中信息，解答下列问题：

（1）参加问卷调查的学生共有＿＿＿＿人；

（2）条形统计图中m的值为＿＿＿＿，扇形统计图中 $α$ 的度数为＿＿＿＿；

（3）根据调查结果，可估计该校 $600$ 名学生中最喜欢“音乐社团”的约有＿＿＿＿人；

（4）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．

如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E ， F$ 分别在边 $A B ， C D$ 上，且四边形 $B E D F$ 为正方形．

（1）求证： $A E ＝ C F$ ；

（2）已知平行四边形 $A B C D$ 的面积为 $20$ ， $A B ＝ 5$ ，求 $C F$ 的长．

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + （ 2 k + 1 ） x + k^{2} + 1 ＝ 0$ 有两个不等实数根 $x_{1} ， x_{2}$ ．

（1）求 $k$ 的取值范围；

（2）若 $x_{1} x_{2} ＝ 5$ ，求 $k$ 的值．