(本小题满分14分)
设是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在
轴的正半轴上,且都与直线
相切,对每一个正整数
,圆
都与圆
相互外切,以
表示
的半径,已知
为递增数列.
(1)证明:为等比数列;
(2)设,求数列
的前
项和.
(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲
如图所示,已知圆外有一点
,作圆
的切线
,
为切点,过
的中点
,作割线
,交圆于
、
两点,连接
并延长,交圆
于点
,连接
交圆
于点
,若
.
(1)求证:∽
;
(2)求证:四边形是平行四边形.
(本小题满分12分)函数,若曲线
在点
处的切线与直线
垂直(其中
为自然对数的底数).
(1)若在
上存在极值,求实数
的取值范围;
(2)求证:当时,
.
(本小题满分12分)椭圆(
)的上顶点为
,
是
上的一点,以
为直径的圆经过椭圆
的右焦点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)动直线与椭圆
有且只有一个公共点,问:在
轴上是否存在两个定点,它们到直线
的距离之积等于
?如果存在,求出这两个定点的坐标;如果不存在,说明理由.
(本小题满分12分)直三棱柱中,
,
,
分别是
、
的中点,
,
为棱
上的点.
(1)证明:;
(2)是否存在一点,使得平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
?若存在,说明点
的位置,若不存在,说明理由.
(本小题满分12分)甲、乙两袋中各装有大小相同的小球个,其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为
、
、
,乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为
,某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球.
(1)若左右手各取一球,求两只手中所取的球颜色不同的概率;
(2)若左右手依次各取两球,称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法,记两次取球的成功取法次数为随机变量,求
的分布列和数学期望.