（本小题满分12分）高三年级有500名学生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：
| 分组 |
频数 |
频率 |
 |
① |
② |
 |
|
0.050 |
 |
|
0.200 |
 |
12 |
0.300 |
 |
|
0.275 |
 |
4 |
③ |
 |
|
0.050 |
| 合 计 |
|
④ |
（1）根据上面图表，①、②
、③、④处的数值分别是多少？
（2）在坐标系中画出
的频率分布直方图；
（3）根据题中信息估计总体平均数，并估计总体落在
中的概率。
已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的3个红球和3个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球。
（1）求取出的4个球中没有红球的概率；
（2）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（3）设
为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望。
某企业主要生产甲、乙两种品牌的空调，由于受到空调在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每台空调的利润与该空调首次出现故障的时间有关，甲、乙两种品牌空调的保修期均为3年，现从该厂已售出的两种品牌空调中各随机抽取50台，统计数据如下：
| 品牌 |
甲 |
乙 |
|||||
| 首次出现故障时间 x年 |
 |
 |
 |
 |
 |
|
|
| 空调数量（台） |
1 |
2 |
4 |
43 |
2 |
3 |
45 |
| 每台利润（千元） |
1 |
2 |
2.5 |
2.7 |
1.5 |
2.6 |
2.8 |
将频率视为概率，解答下列问题：
（1）从该厂生产的甲品牌空调中随机抽取一台，求首次出现故障发生在保修期内的概率；
（2）若该厂生产的空调均能售出，记生产一台甲品牌空调的利润为X1，生产一台乙品牌空调的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；
（3）该厂预计今后这两种品牌空调销量相当，但由于资金限制，只能生产其中一种品牌空调，若从经济效益的角度考虑，你认为应该生产哪种品牌的空调？说明理由。
已知函数
，其中
。
（1）若
，求函数
的极值点和极值；
（2）求函数在区间
上的最小值。
已知数列
中，
，其中
。
（1）计算
的值；
（2）根据计算结果猜想的通项公式，并用数学归纳法加以证明。
已知数列
满足：
（1）若数列
是以常数
为首项，公差也为的等差数列，求的值；
（2）若
，求证：
对任意
都成立；
（3）若
，求证：
对任意都成立；