（本小题满分14分）已知A,B,C是△ABC的三个内角，向量-优题课

已知数列 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 满足： $b_{n} a_{n} + a_{n + 1} + b_{n + 1} a_{n + 2}, b_{n} = \frac{3 + {(- 1)}^{n}}{2}, n \in N^{+}$ ，且 $a_{1} = 2, a_{2} = 4$ ．
（Ⅰ）求 $a_{3}, a_{4}, a_{5}$ 的值；
（Ⅱ）设 $c_{n} = a_{2 n - 1} + a_{2 n + 1}, n \in N^{+}$ ，证明： $\{c_{n}\}$ 是等比数列；
（Ⅲ）设 $S_{k} = a_{2} + a_{4} + \dots + a_{2 k}, k \in N^{+}$ ,证明： $\sum_{K = 1}^{4 n} \frac{S_{k}}{a_{k}} < \frac{7}{6} (n \in N^{+})$ ．

已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = \ln x - a x^{2}, x > 0$ .( $f (x)$ 的图像连续不断)

（Ⅰ）求 $f (x)$ 的单调区间；

（Ⅱ）当 $a = \frac{1}{8}$ 时，证明：存在 $x_{0} \in (2, + \infty)$ ，使 $f (x_{0}) = f (\frac{3}{2})$ ；

（Ⅲ）若存在均属于区间 $[1, 3]$ 的 $α, β$ ，且 $β - α \geq 1$ ，使 $f (α) = f (β)$ ，证明 $\frac{\ln 3 - \ln 2}{5} \leq a \leq \frac{\ln 2}{3}$ .

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $P (a, b) (a > b > 0)$ 为动点， $F_{1}, F_{2}$ 分别为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左右焦点．已知△ $F_{1} P F_{2}$ 为等腰三角形．
（Ⅰ）求椭圆的离心率 $e$ ；
（Ⅱ）设直线 $P F_{2}$ 与椭圆相交于 $A, B$ 两点， $M$ 是直线 $P F_{2}$ 上的点，满足 $\vec{A M} \cdot \vec{B M} = - 2$ ，求点 $M$ 的轨迹方程．

如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B 1 C_{1}$ 中， $H$ 是正方形 $A A_{1} B_{1} B$ 的中心， $A A_{1} = 2 \sqrt{2}$ ， $C_{1} H ⊥ 平面 A A_{1} B_{1} B$ ，且 $C_{1} H = \sqrt{5}$ ，

（Ⅰ）求异面直线 $A C$ 与 $A_{1} B_{1}$ 所成角的余弦值；

（Ⅱ）求二面角 $A - A_{1} C_{1} - B_{1}$ 的正弦值；

（Ⅲ）设 $N$ 为棱 $B_{1} C_{1}$ 的中点，点 $M 在平面 A A_{1} B_{1} B$ 内，且 $M N ⊥ 平面 A_{1} B_{1} C$ ，求线段 $B M$ 的长．

学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）

（Ⅰ）求在1次游戏中，

（ⅰ）摸出3个白球的概率；

（ⅱ）获奖的概率；

（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数 $X$ 的分布列及数学期望 $E X$ 。