（（本小题满分12分）已知数列的前项和为，.（Ⅰ）证明：数列-优题课

已知曲线 $C_{1}$ ： ${\begin{matrix} x = - 4 + \cos t \\ y = 3 + \sin t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数）， $C_{2}$ ： ${\begin{matrix} x = 8 \cos θ \\ y = 3 \sin θ \end{matrix}$ （ $θ$ 为参数）。
（1）化 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若 $C_{1}$ 上的点 $P$ 对应的参数为 $t = \frac{π}{2}$ ， $Q$ 为上的动点，求 $P Q$ 中点 $M$ 到直线 $C_{3} : {\begin{matrix} x = 3 + 2 t \\ y = - 2 + t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数）距离的最小值.

已知函数 $f (x) = (x^{3} + 3 x^{2} + a x + b) e^{- x}$

（I)如果 $a = b = - 3$ ，求 $f (x)$ 的单调区间；
（II)若 $f (x)$ 在 $(- \infty, α), (2, β)$ 单调增加，在 $(α, 2) (β, + \infty)$ 单调减少，证明 $α - β$ ＜6.

已知椭圆 $C$ 的中心为直角坐标系 $x O y$ 的原点，焦点在 $s$ 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；
（Ⅱ）若 $P$ 为椭圆 $C$ 上的动点， $M$ 为过 $P$ 且垂直于 $x$ 轴的直线上的点， $\frac{|O P|}{|O M|} = λ$ ，求点 $M$ 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

如图,四棱锥 $S - A B C D$ 的底面是正方形,每条侧棱的长都是地面边长的 $\sqrt{2}$ 倍, $P$ 为侧棱 $S D$ 上的点.

（Ⅰ）求证： $A C ⊥ S D$ ;
（Ⅱ）若 $S D ⊥$ 平面 $P A C$ ,求二面角 $P - A C - D$ 的大小;
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱 $S C$ 上是否存在一点 $E$ ,使得 $B E ∥$ 平面 $P A C$ .若存在,求 $S E : E C$ 的值；若不存在，试说明理由.

某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人），现用分层抽样方法（按A类、B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）。
（I）求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为 $A$ 类工人，乙为 $B$ 类工人；
（II）从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽插结果分别如下表1和表2.

表1：

表2：

（i）先确定x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言， $A$ 类工人中个体间的差异程度与 $B$ 类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）

（ii）分别估计 $A$ 类工人和 $B$ 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）