(本题满分6分)解方程:x40.-优题课

已知 $AD$ 为 $⊙ O$ 的直径， $BC$ 为 $⊙ O$ 的切线，切点为 $M$ ，分别过 $A$ ， $D$ 两点作 $BC$ 的垂线，垂足分别为 $B$ ， $C$ ， $AD$ 的延长线与 $BC$ 相交于点 $E$ ．

（1）求证： $ΔABM ∽ ΔMCD$ ；

（2）若 $AD = 8$ ， $AB = 5$ ，求 $ME$ 的长．

班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90公里，队伍 $8 : 00$ 从学校出发．苏老师因有事情， $8 : 30$ 从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地．问：

（1）大巴与小车的平均速度各是多少？

（2）苏老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？

密码锁有三个转轮，每个转轮上有十个数字：0，1，2， $\dots 9$ ．小黄同学是9月份中旬出生，用生日“月份 $+$ 日期”设置密码： $9 \times \times$

小张同学要破解其密码：

（1）第一个转轮设置的数字是9，第二个转轮设置的数字可能是　　．

（2）请你帮小张同学列举出所有可能的密码，并求密码数能被3整除的概率；

（3）小张同学是6月份出生，根据（1）（2）的规律，请你推算用小张生日设置的密码的所有可能个数．

平行四边形 $ABCD$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $AB = 2 AD$ ， $BD$ 的中垂线分别交 $AB$ ， $CD$ 于点 $E$ ， $F$ ，垂足为 $O$ ．

（1）求证： $OE = OF$ ；

（2）若 $AD = 6$ ，求 $\tan ∠ ABD$ 的值．

如图，已知菱形 $ABCD$ 的对称中心是坐标原点 $O$ ，四个顶点都在坐标轴上，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象与 $AD$ 边交于 $E (- 4, \frac{1}{2})$ ， $F (m, 2)$ 两点．

（1）求 $k$ ， $m$ 的值；

（2）写出函数 $y = \frac{k}{x}$ 图象在菱形 $ABCD$ 内 $x$ 的取值范围．