计算：-优题课

如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，点 $E$ 是 $CD$ 的中点，点 $F$ 是 $BC$ 边上的点， $AF = AD + FC$ ，平行四边形 $ABCD$ 的面积为 $S$ ，由 $A$ 、 $E$ 、 $F$ 三点确定的圆的周长为 $l$ ．

（1）若 $ΔABE$ 的面积为30，直接写出 $S$ 的值；

（2）求证： $AE$ 平分 $∠ DAF$ ；

（3）若 $AE = BE$ ， $AB = 4$ ， $AD = 5$ ，求 $l$ 的值．

如图，已知 $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 是 $⊙ O$ 上的点，点 $D$ 在 $AB$ 的延长线上， $∠ BCD = ∠ BAC$ ．

（1）求证： $CD$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $∠ D = 30 °$ ， $BD = 2$ ，求图中阴影部分的面积．

某驻村扶贫小组为解决当地贫困问题，带领大家致富．经过调查研究，他们决定利用当地盛产的甲、乙两种原料开发 $A$ 、 $B$ 两种商品．为科学决策，他们试生产 $A$ 、 $B$ 两种商品共100千克进行深入研究，已知现有甲种原料293千克，乙种原料314千克，生产1千克 $A$ 商品，1千克 $B$ 商品所需要的甲、乙两种原料及生产成本如表所示．

	甲种原料（单位：千克）	乙种原料（单位：千克）	生产成本（单位：元）
$A$ 商品	3	2	120
$B$ 商品	2.5	3.5	200

设生产 $A$ 种商品 $x$ 千克，生产 $A$ 、 $B$ 两种商品共100千克的总成本为 $y$ 元，根据上述信息，解答下列问题：

（1）求 $y$ 与 $x$ 的函数解析式（也称关系式），并直接写出 $x$ 的取值范围；

（2） $x$ 取何值时，总成本 $y$ 最小？

已知二次函数 $y = - \frac{3}{16} x^{2} + bx + c$ 的图象经过 $A (0, 3)$ ， $B (- 4, - \frac{9}{2})$ 两点．

（1）求 $b$ ， $c$ 的值．

（2）二次函数 $y = - \frac{3}{16} x^{2} + bx + c$ 的图象与 $x$ 轴是否有公共点？若有，求公共点的坐标；若没有，请说明情况．

将正面分别写着数字1，2，3的三张卡片（注：这三张卡片的形状、大小、质地、颜色等其他方面完全相同，若背面向上放在桌面上，这三张卡片看上去无任何差别）洗匀后，背面向上放在桌面上，从中先随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为 $x$ ，再把剩下的两张卡片洗匀后，背面向上放在桌面上，再从这两张卡片中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为 $y$ ．

（1）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，写出 $(x, y)$ 所有可能出现的结果．

（2）求取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率 $P$ ．