已知函数（I）求函数在1，3上的最小值；（II）若存在（e为-优题课

题文

已知函数
（I）求函数在[1，3]上的最小值；
（II）若存在（e为自然对数的底数，且）使不等式成立，求实数a的取值范围

科目数学题型解答题难度中等

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设函数 $f (x) = 2 |x - 1| + x - 1, g (x) = 16 x^{2} - 8 x + 1$ ，记 $f (x) \leq 1$ 的解集为 $M$ ， $g (x) \leq 4$ 的解集为 $N$ .
（1）求 $M$ ；
（2）当 $x \in M \cap N$ 时，证明： $x^{2} f (x) + x {[f (x)]}^{2} \leq \frac{1}{4}$ .

将圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线 $C$ .
（1）写出 $C$ 的参数方程；
（2）设直线 $l : 2 x + y - 2 = 0$ 与 $C$ 的交点为 $P_{1}, P_{2}$ ，以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段 $P_{1} P_{2}$ 的中点且与 $l$ 垂直的直线的极坐标方程.

如图， $E P$ 交圆于 $E$ 、 $C$ 两点， $P D$ 切圆于 $D, G$ 为 $C E$ 上一点且 $P G = P D$ ，连接 $D G$ 并延长交圆于点 $A$ ，作弦 $A B$ 垂直 $E P$ ，垂足为 $F$ .
（1）求证： $A B$ 为圆的直径；
（2）若 $A C = B D$ ，求证： $A B = E D$ .

已知函数 $f (x) = (\cos x - x) (π + 2 x) - \frac{8}{3} (\sin x + 1)$ ， $g (x) = 3 x \cos x - 4 (1 + \sin x) \ln (3 - \frac{2 x}{π})$ .证明：

（1）存在唯一 $x_{0} \in (0, \frac{π}{2})$ ，使 $f (x_{0}) = 0$ ；
（2）存在唯一 $x_{1} \in (\frac{π}{2}, π)$ ，使 $g (x_{1}) = 0$ ，且对（1）中的 $x_{0} + x_{1} < π$ .

圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 的切线与 $x$ 轴正半轴， $y$ 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为 $P$ （如图），双曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 过点 $P$ 且离心率为 $\sqrt{3}$ .
（1）求 $C_{1}$ 的方程；
（2）椭圆 $C_{2}$ 过点P且与 $C_{1}$ 有相同的焦点，直线 $l$ 过 $C_{2}$ 的右焦点且与 $C_{2}$ 交于 $A, B$ 两点，若以线段 $A B$ 为直径的圆心过点 $P$ ，求 $l$ 的方程.

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