圆x2y24的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当-优题课

题文

圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 的切线与 $x$ 轴正半轴， $y$ 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为 $P$ （如图），双曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 过点 $P$ 且离心率为 $\sqrt{3}$ .
（1）求 $C_{1}$ 的方程；
（2）椭圆 $C_{2}$ 过点P且与 $C_{1}$ 有相同的焦点，直线 $l$ 过 $C_{2}$ 的右焦点且与 $C_{2}$ 交于 $A, B$ 两点，若以线段 $A B$ 为直径的圆心过点 $P$ ，求 $l$ 的方程.

科目数学题型解答题难度中等

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已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = \frac{n^{2} + n}{2}, n \in N^{+}$ .
(1)求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
(2)设 $b_{n} = 2^{a_{n}} + (- 1)^{n} a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和.

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $M$ 到点 $F (1, 0)$ 的距离比它到 $y$ 轴的距离多1，记点 $M$ 的轨迹为 $C$ .
（1）求轨迹为 $C$ 的方程
（2）设斜率为 $k$ 的直线 $l$ 过定点 $p (- 2, 1)$ ，求直线 $l$ 与轨迹 $C$ 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时 $k$ 的相应取值范围.

$π$ 为圆周率， $e = 2.71828 . . .$ 为自然对数的底数.
（1）求函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ 的单调区间；
（2）求 $e^{3}, 3^{e}, e^{π}, π^{e}, 3^{π}, π^{3}$ 这6个数中的最大数与最小数；
（3）将 $e^{3} ， 3^{e} ， e^{π} ， π^{e} ， 3^{π} ， π^{3}$ 这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.

如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ ， $P$ ， $Q$ ， $M$ ， $N$ 分别是棱 $A B$ ， $A D$ ， $D D_{1}$ , $B B_{1}$ ， $A_{1} B_{1}$ ， $A_{1} D_{1}$ 的中点.求证：
（1）直线 $B C_{1}$ ∥平面 $E F P Q$ ；
（2）直线 $A C_{1}$ ⊥平面 $P Q M N$ .

某实验室一天的温度（单位： $°^{} C$ ）随时间 $t$ （单位： $h$ ）的变化近似满足函数关系； $f (t) = 10 - \sqrt{3} \cos \frac{π}{12} t - \sin \frac{π}{12} t, t \in [0, 24]$ .
（1）求实验室这一天上午8时的温度；
（2）求实验室这一天的最大温差.

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