(本小题满分12分）为了让学生更多地了解数学史知识，某中学高-优题课

题文

(本小题满分12分）
为了让学生更多地了解“数学史”知识，某中学高二年级举办了一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音”的数学史知识竞赛活动，共有名学生参加了这次竞赛。为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为分）进行统计。请你根据下面的频率分布表，解答下列问题：

序号（）	分组（分数）	本组中间值	频数（人数）	频率
			①[]
				②]
			③
			④	⑤
合计

（1）填充频率分布表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；
（2）为鼓励更多的学生了解“数学史”知识，成绩不低于分的同学能获奖，请估计在参赛的名学生中大概有多少同学获奖？

（3）请根据频率分布表估计该校高二年级参赛的800名同学的平均成绩。

科目数学题型解答题难度较易

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（本小题满分13分）
某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：

	初一年级	初二年级	初三年级
女生	373
男生	377	370

已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19．
（1）求的值；
（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？
（3）已知，，求初三年级中女生比男生多的概率．

（本小题满分13分）
已知函数，的最大值是1，其图像经过点．
（1）求的解析式；
（2）已知，且，，求的值．

已知 $△ A B C$ 的角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，设向量 $\vec{m} = (a, b), \vec{n} = (\sin B, \sin A), \vec{p} = (b - 2, a - 2)$ .
（1）若 $\vec{m} / / \vec{n}$ ，求证： $△ A B C$ 为等腰三角形；
（2）若 $\vec{m} ⊥ \vec{p}$ ，边长 $c = 2$ ，角 $C = \frac{π}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

已知 ${a_{n}}$ 是公差为 $d$ 的等差数列， ${b_{n}}$ 是公比为 $q$ 的等比数列.
（1）若 $a_{n} = 3 n + 1$ ，是否存在 $m, k \in N^{+}$ ，有 $a_{m} + a_{m + 1} = a_{k}$ 说明理由；
（2）找出所有数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ ，使对一切 $n \in N^{+}$ , $\frac{a_{n - 1}}{a_{n}} = b_{n}$ ,并说明理由；
（3）若 $a_{1} = 5, d = 4, b_{1} = q = 3$ 试确定所有的 $p$ ，使数列 ${a_{n}}$ 中存在某个连续 $p$ 项的和是数列 ${b_{n}}$ 中的一项，请证明.

已知函数 $y = f (x)$ 的反函数.定义：若对给定的实数 $a (a \neq 0)$ ，函数 $y = f (x + a)$ 与 $y = f^{- 1} (x + a)$ 互为反函数，则称 $y = f (x)$ 满足" $a$ 和性质"；若函数 $y = f (a x)$ 与 $y = f^{- 1} (a x)$ 互为反函数，则称 $y = f (x)$ 满足" $a$ 积性质".
（1）判断函数 $g (x) = x^{2} + 1 (x > 0)$ 是否满足"1和性质"，并说明理由；
（2）求所有满足"2和性质"的一次函数；
（3）设函数 $y = f (x) (x > 0)$ 对任何 $a > 0$ ，满足" $a$ 积性质".求 $y = f (x)$ 的表达式.

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