（本小题满分12分）如图，四边形为矩形，平面ABE为上的点，-优题课

（本小题满分12分）如图，四边形为矩形，平面ABE
为上的点，且平面，

（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求三棱锥的体积.

科目数学题型解答题难度中等

$数列 \{a_{n}\} 满足 a_{1} = 1, a_{2} = 2, a_{n + 2} = (1 + \cos^{2} \frac{nπ}{2}) a_{n} + \sin^{2} \frac{nπ}{2}, n = 1, 2, 3, \dots \dots .$

（Ⅰ） $求 a_{3}, a_{4}, 并求数列 \{a_{n}\} 的通项公式;$

（II） $设 b_{n} = \frac{a_{2 n - 1}}{a_{2 n}}, S_{n} = b_{1} + b_{2} + \dots \dots + b_{n} . 证明: 当 n \geq 6 时, |S_{n} - 2| < \frac{1}{n} .$

如图所示，四棱锥 $P - ABCD$ 的底面 $ABCD$ 是边长为 1 的菱形， $∠ BCD = 60^{\circ}$ , $E$ 是 $CD$ 的中点, $PA ⊥$ 底面 $ABCD, PA = 2$ .

（I）证明: 平面 $PBE ⊥$ 平面 $PAB$ ;

（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.

甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约.甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是 $\frac{1}{2}$ , 且面试是否合格互不影响.

求: ( I ) 至少有 1 人面试合格的概率;

( II ) 签约人数 $ξ$ 的分布列和数学期望.

(1) 求 $7 C_{6}^{3} - 4 C_{7}^{4}$ 的值;

(2) 设 $m, n \in N^{*}, n ⩾ m$ , 求证:

$(m + 1) C_{m}^{m} + (m + 2) C_{m + 1}^{m} + (m + 3) C_{m + 2}^{m} + \dots + n C_{n - 1}^{m} + (n + 1) C_{n}^{m} = (m + 1) C_{n + 2}^{m + 2}$

如图, 在平面直角坐标系 $xOy$ 中, 已知直线 $l : x - y - 2 = 0$ , 抛物线 $C : y^{2} = 2 px (p > 0)$

(1) 若直线 $l$ 过抛物线 $C$ 的焦点, 求抛物线 $C$ 的方程;

(2) 已知抛物线 $C$ 上存在关于直线 $l$ 对称的相异两点 $P$ 和 $Q$ .

①求证：线段 $PQ$ 的中点坐标为 $(2 - p, - p)$ ;

②求 $p$ 的取值范围.