已知点P（1,）是椭圆E：（）上一点，F1、F2分别是椭圆E-优题课

已知点P（-1,）是椭圆E：（）上一点，F₁、F₂分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF₁⊥x轴．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设A、B是椭圆E上两个动点，（0<λ<4，且λ≠2）．求证：直线AB的斜率等于椭圆E的离心率；
（3）在（2）的条件下，当△PAB面积取得最大值时，求λ的值．

科目数学题型解答题难度中等

已知函数 $f (x) = | x - \frac{1}{2} | + | x + \frac{1}{2} |$ ， M为不等式 $f (x) ＜ 2$ 的解集.

（1）求 $M$ ；

（2）证明：当 $a, b \in M$ 时， $∣ a + b ∣ ＜ ∣ 1 + ab ∣$ 。

在直线坐标系 $x O y$ 中，圆 C的方程为 ${(x + 6)}^{2} + y^{2} = 25$ .

（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C的极坐标方程；

（2）直线 l的参数方程是 ${\begin{matrix} x = t \cos α \\ y = t \sin α \end{matrix} （ t 为参数）$ , l与 C交于 A、 B两点， $∣ AB ∣ = \sqrt{10}$ ，求 l的斜率。

如图，在正方形 $ABCD$ ， $E, G$ 分别在边 $DA, DC$ 上（不与端点重合），且 $DE = DG$ ，过D点作 $DF ⊥ CE$ ，垂足为F.

（1）证明： $B, C, E, F$ 四点共圆；

（2）若 $AB = 1$ ，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.

（1）讨论函数 $f (x) = \frac{x - 2}{x + 2} e^{x}$ 的单调性，并证明当 $x$ >0时， $(x - 2) e^{x} + x + 2 > 0;$

（2）证明：当 $a \in [0, 1)$ 时，函数 $g （ x ） = \frac{e^{x} - ax - a}{x^{2}} (x > 0)$ 有最小值.设 $g （ x ）$ 的最小值为 $h (a)$ ，求函数 $h (a)$ 的值域.

已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{t} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的焦点在 $x$ 轴上， A是 E的左顶点，斜率为 $k (k > 0)$ 的直线交 E于 A, M两点，点 N在 E上， $MA ⊥ NA$ .

（1）当 $t = 4$ ， $| AM | = | AN |$ 时，求 $△ AMN$ 的面积；

（2）当 $2 | AM | = | AN |$ 时，求 k的取值范围.