(本小题满分13分)已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆-优题课

题文

(本小题满分13分)
已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆x²＋y²－10x＋20＝0相切.过点P(－4,0)作斜率为的直线l，使得l和G交于A，B两点，和y轴交于点C，并且点P在线段AB上，又满足|PA|·|PB|＝|PC|².
(1)求双曲线G的渐近线的方程；
(2)求双曲线G的方程；
(3)椭圆S的中心在原点，它的短轴是G的实轴.如果S中垂直于l的平行弦的中点的轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，求椭圆S的方程.

科目数学题型解答题难度中等

知识点：参数方程

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某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验，一株该种作物的年收货量 $Y$ (单位： $k g$ )与它的"相近"作物株数 $X$ 之间的关系如下表所示：

$X$	1	2	3	4
$Y$	51	48	45	42

这里，两株作物"相近"是指它们之间的直线距离不超过1米。
（Ⅰ）完成下表,并求所种作物的平均年收获量;

$Y$	51	48	45	42
频数		4

(Ⅱ)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为48 $k g$ 的概率.

如图.在直棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = \sqrt{2}$ ， $A A_{1} = 3$ ， $D$ 是 $B C$ 的中点，点E在菱 $B B_{1}$ 上运动

（1）证明： $A D ⊥ C_{1} E$ ；
（2）当异面直线 $A C$ ， $C_{1} E$ 所成的角为 $60 °$ 时，求三棱锥 $C_{1} - A_{1} B_{1} E$ 的体积

已知函数 $f (x) = \cos x \cdot \cos (x - \frac{π}{3})$

（1）求 $f (\frac{2 π}{3})$ 的值；
（2）求使 $f (x) < \frac{1}{4}$ 成立的 $x$ 的取值集合

设函数 $f (x) = x^{3} - k x^{2} + x (x \in R)$ ．
(1) 当 $k = 1$ 时,求函数 $f (x)$ 的单调区间；
(2) 当 $k < 0$ 时,求函数 $f (x)$ 在 $[k, - k]$ 上的最小值 $m$ 和最大值 $M$ ．

已知抛物线 $C$ 的顶点为原点，其焦点 $F (0, c) (c > 0)$ 到直线 $l : x - y - 2 = 0$ 的距离为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ．设 $P$ 为直线 $l$ 上的点，过点 $P$ 作抛物线 $C$ 的两条切线 $P A, P B$ ，其中 $A, B$ 为切点．
(1) 求抛物线 $C$ 的方程；
(2) 当点 $P (x_{0}, y_{0})$ 为直线 $l$ 上的定点时，求直线 $A B$ 的方程；
(3) 当点 $P$ 在直线 $l$ 上移动时，求 $|A B| \cdot |B F|$ 的最小值．

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