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科目数学题型解答题难度较易

知识点：三面角、直三面角的基本性质

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在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，已知公差 $d = 2$ ， $a_{2}$ 是 $a_{1}$ 与 $a_{4}$ 的等比中项.
（1）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）设 $b_{n} = a_{\frac{n (n + 1)}{2}}$ ，记 $T_{n} = - b_{1} + b_{2} - b_{3} + b_{4} + \dots + {(- 1)}^{n} b_{n}$ ，求 $T_{n}$ .

如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中, $A P ⊥$ 平面 $P C D$ , $A D ∥ B C$ ， $A B = B C = \frac{1}{2} A D$ , $E, F$ 分别为线段 $A D, P C$ 的中点.

（1）求证： $A P ∥$ 平面 $B E F$ ;
（2）求证： $B E ⊥$ 平面 $P A C$ .

$△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a = 3$ ， $\cos A = \frac{\sqrt{6}}{3}$ , $B = A + \frac{π}{2}$ ,
（1）求 $b$ 的值；
（2）求 $△ A B C$ 的面积.

海关对同时从三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如右表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件进行检测

地区
数量	50	150	100

（1）求这6件样品中来自各地区商品的数量；
（2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.

将连续正整数 $1, 2, \dots, n (n \in N^{*})$ 从小到大排列构成一个数 $123 \dots n$ ， $F (n)$ 为这个数的位数（如 $n = 12$ 时，此数为，共有15个数字， $f (12) = 15$ ），现从这个数中随机取一个数字， $p (n)$ 为恰好取到0的概率.
（1）求 $p (100)$ ；
（2）当 $n \leq 2014$ 时，求 $F (n)$ 的表达式；
（3）令 $g (n)$ 为这个数中数字0的个数， $f (n)$ 为这个数中数字9的个数， $h (n) = f (n) - g (n)$ ， $S = \{n h (n) = 1, n \leq 100, n \in N^{*}\}$ ，求当 $n \in S$ ,时 $p (n)$ 的最大值.

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