（本小题满分12分）某单位实行休年假制度三年以来，50名职工-优题课

题文

（本小题满分12分）某单位实行休年假制度三年以来，50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如下表所示：

休假次数
人数

根据上表信息解答以下问题：
（Ⅰ）从该单位任选两名职工，用表示这两人休年假次数之和，记“函数在区间，上有且只有一个零点”为事件，求事件发生的概率；
（Ⅱ）从该单位任选两名职工，用表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望．

科目数学题型解答题难度中等

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记动点P是棱长为 $1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的对角线 $B D_{1}$ 上一点，记 $\frac{D_{1} P}{D_{1} B} = λ$ 。当 $∠ A P C$ 为钝角时，求 $λ$ 的取值范围.

A．选修4-1　几何证明选讲

如图，设 $△ A B C$ 的外接圆的切线 $A E$ 与 $B C$ 的延长线交于点 $E$ ， $∠ B A C$ 的平分线与 $B C$ 交于点 $D$ .求证： $E D^{2} = E B \cdot E C$ .

B．选修4-2　矩阵与变换

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，设椭圆 $4 x^{2} + y^{2} = 1$ 在矩阵对应的变换作用下得到曲线 $F$ ，求 $F$ 的方程.

C．选修4-4　参数方程与极坐标

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $P (x, y)$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$ 上的一个动点，求 $S = x + y$ 的最大值.

D．选修4-5　不等式证明选讲

设 $a, b, c$ 为正实数，求证： $\frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}} + \frac{1}{c^{3}} + a b c \geq 2 \sqrt{3}$ .

若 $f_{1} (x) = 3^{|x - p_{1}|}, f_{2} (x) = 3^{|x - p_{2}|}, x \in R, p_{1}, p_{2}$ 为常数，且 $f (x) = {\begin{matrix} f_{1} (x), f_{1} (x) \leq f_{2} (x) \\ f_{2} (x), f_{1} (x) > f_{2} (x) \end{matrix}$ .
（Ⅰ）求 $f (x) = f_{1} (x)$ 对所有的实数 $x$ 成立的充要条件（用 $p_{1}, p_{2}$ 表示）；
（Ⅱ）设 $a, b$ 为两实数， $a < b$ 且 $p_{1}, p_{2} \in (a, b)$ ，若 $f (a) = f (b)$ ，求证： $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的单调增区间的长度和为 $\frac{b - a}{2}$ （闭区间 $[m, n]$ 的长度定义为 $n - m$ ）.

（I）设 $a_{1}, a_{2}, \dots a_{n}$ 是各项均不为零的等差数列 $(n \geq 4)$ ，且公差 $d \neq 0$ ，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：
①当 $n = 4$ 时，求 $\frac{a_{1}}{d}$ 的数值；②求 $n$ 的所有可能值；
（II）求证：对于一个给定的正整数 $(n \geq 4)$ ，存在一个各项及公差都不为零的等差数列 $b_{1}, b_{2} \dots \dots b_{n}$ ，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列。

设平面直角坐标系 $x o y$ 中，设二次函数 $f (x) = x^{2} + 2 x + b (x \in R)$ 的图象与坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为 $C$ 。
（1）求实数 $b$ 的取值范围；
（2）求圆 $C$ 的方程；
（3）问圆 $C$ 是否经过某定点（其坐标与 $b$ 无关）？请证明你的结论。

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