小红是某中学的七年级学生，放学后从学校骑自行车回家，学校在她-优题课

题文

小红是某中学的七年级学生，放学后从学校骑自行车回家，学校在她现在位置的北偏东30°方向，距离此处1.5km的地方，她的家在她现在的位置的南偏西45°的方向，距离此处2km，邮局在她现在的位置的北偏西60°的方向，距离此处3km。根据这些信息画一张表示各处位置的简图

科目数学题型解答题难度较难

知识点：坐标与图形变化-旋转

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某海域有一小岛 $P$ ，在以 $P$ 为圆心，半径 $r$ 为 $10 （ 3 + \sqrt{3} ）$ 海里的圆形海域内有暗礁.一海监船自西向东航行，它在 $A$ 处测得小岛 $P$ 位于北偏东 $60^{\circ}$ 的方向上，当海监船行驶 $20 \sqrt{2}$ 海里后到达 $B$ 处，此时观测小岛 $P$ 位于 $B$ 处北偏东 $45^{\circ}$ 方向上.

（1）求 $A ， P$ 之间的距离 $AP$ ;

（2）若海监船由 $B$ 处继续向东航行是否有触礁危险?请说明理由.如果有触礁危险，那么海监船由 $B$ 处开始沿南偏东至多少度的方向航行能安全通过这一海域?

如图，矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC, BD$ 相交于点 $O$ ，过点 $O$ 作 $OE ⊥ AC$ 交 $AB$ 于点 $E$ ，若 $BC = 4, △ AOE$ 的面积为 $6$ ，求 $cos ∠ BOE$ 的值.

如图，在 $△ ABC$ 中， $∠ B = 36^{\circ}, D$ 为 $BC$ 上一点， $AB = AC = BD = 1$ .

（1）求 $CD$ 的长;

（2）利用此图，求 $sin 18^{\circ}$ 的精确值.

在 $△ ABC$ 中， $a, b, c$ 分别是 $∠ A, ∠ B, ∠ C$ 的对边，且 $c = 5 \sqrt{3}$ ，若关于 $x$ 的方程 $(5 \sqrt{3} + b) x^{2} + 2 ax + (5 \sqrt{3} - b) = 0$ 有两个相等的实数根，又方程 $2 x^{2} - (10 sin A) x + 5 sin A = 0$ 的两实数根的平方和为 $6$ ，求 $△ ABC$ 的面积.

已知 $△ ABC$ 的一边 AC 为关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + mx + 4 = 0$ 的两个正整数根之一，且另两边长为 $BC = 4, AB = 6$ ，求 $cos A$ 的值.

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