某商场为了吸引顾客，设计了一个摸球获奖的箱子，箱子中共有20-优题课

某商场为了吸引顾客，设计了一个摸球获奖的箱子，箱子中共有20个球，其中红球2个，兰球3个，黄球5个，白球10个，并规定购买100元的商品，就有一次摸球的机会，摸到红、兰、黄、白球的(一次只能摸一个)，顾客就可以分别得到80元、30元、10元、0元购物卷，凭购物卷仍然可以在商场购买，如果顾客不愿意摸球，那么可以直接获得购物卷10元.
(1)每摸一次球所获购物卷金额的平均值是多少？
(2)你若在此商场购买100元的货物，两种方式中你应选择哪种方式？为什么？

科目数学题型解答题难度较难

知识点：利用频率估计概率

如图，将长方形 $ABCD$ 放置在平面直角坐标系中， $AB / / x$ 轴，且 $AB = 4 ， AD = 2$ ，且 $A (2 ， 1)$ .

（1）求 $B ， C ， D$ 的坐标，并说明将长方形 $ABCD$ 进行怎样的平移使 $C$ 点移到 $A$ 点处；

（2） $y$ 轴上是否存在点 $P$ ，使 $△ PAB$ 的面积等于长方形 $ABCD$ 面积的 $\frac{3}{4}$ ，若存在，求出 $P$ 点坐标；若不存在，说明理由.

在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点 $O$ 出发，按向上、向右、向下、向右方向依次不断移动，每次移动 $1$ 个单位，其行走路线如图所示.

（1）填写下列各点的坐标：

$A_{4}$ （）， $A_{8}$ （）， $A_{12}$ （）

（2）写出点 $A_{4 n}$ 的坐标（ $n$ 是正整数）；

（3）指出蚂蚁从点 $A_{2016}$ 到点 $A_{2017}$ 的移动方向.

如图所示， $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 是由 $△ ABC$ 平移后得到的，已知 $△ ABC$ 中任意一点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 经平移后对应点为 $P_{1} (x_{0} - 6 ， y_{0} - 2)$ .

（1）已知 $A (2 ， 6) ， B (1 ， 3) ， C (5 ， 3) ， Q (3 ， 5)$ ，请写出 $A_{1} ， B_{1} ， C_{1} ， Q_{1}$ 的坐标

（2）试说明 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 是如何由 $△ ABC$ 得到的?

（3）连接 $A_{1} A ， C_{1} C$ ，求出五边形 $A_{1} B_{1} C_{1} CA$ 的面积.

已知 $\sqrt{a^{2} + 2005}$ 是整数，求所有满足条件的正整数 $a$ 的和.

已知 $a ， b ， c$ 为正整数，且 $\frac{\sqrt{3} a + b}{\sqrt{3} b + c}$ 为有理数，证明： $\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{a + b + c}$ 为整数.

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