(本小题满分13分)
如图,已知椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别为
,短轴两个端点为.A、B且四边形
是边长为2的正方形.
(I)求椭圆的方程;
(II)若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点,动点M满足MD丄CD,连结CM,交椭圆于点P.证明:为定值;
(III)在(II)的条件下,试问X轴上是否存在异于点C的定点Q,使得以MP为直径的圆恒过直线DP,MQ的交点.若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.
如图,三角形和梯形
所在的平面互相垂直,
,
,
是线段
上一点,
.
(Ⅰ)当时,求证:
平面
;
(Ⅱ)求二面角的正弦值;
(Ⅲ)是否存在点满足
平面
?并说明理由.
在一个盒子中,放有大小相同的红、白、黄三个小球,现从中任意摸出一球,若是红球记1分,白球记2分,黄球记3分.现从这个盒子中,有放回地先后摸出两球,所得分数分别记为、
,设
为坐标原点,点
的坐标为
,记
.
(I)求随机变量的最大值,并求事件“
取得最大值”的概率;
(Ⅱ)求随机变量的分布列和数学期望.
在△ABC中,已知A=,
.
(I)求cosC的值;
(Ⅱ)若BC=2,D为AB的中点,求CD的长.
(本大题满分12分)设函数(
为自然对数的底数),
(1)当=1时,求过点(1,
)处的切线与坐标轴围成的面积;
(2)若在(0,1)恒成立,求实数
的取值范围.
(本小题12分)已知分别为椭圆
:
(
)的左、右焦点, 且离心率为
,点
椭圆
上
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在斜率为的直线
与椭圆
交于不同的两点
,使直线
与
的倾斜角互补,且直线
是否恒过定点,若存在,求出该定点的坐标;若不存在,说明理由.