-优题课

某工程队准备从 $A$ 到 $B$ 修建一条隧道，测量员在直线 $AB$ 的同一侧选定 $C$ ， $D$ 两个观测点，如图．测得 $AC$ 长为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2} km$ ， $CD$ 长为 $\frac{3}{4} (\sqrt{2} + \sqrt{6}) km$ ， $BD$ 长为 $\frac{3}{2} km$ ， $∠ ACD = 60 °$ ， $∠ CDB = 135 ° (A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 在同一水平面内）．

（1）求 $A$ 、 $D$ 两点之间的距离；

（2）求隧道 $AB$ 的长度．

为了庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了学党史知识竞赛．参加知识竞赛的学生分为甲乙两组，每组学生均为20名，赛后根据竞赛成绩得到尚不完整的统计图表（如图），已知竞赛成绩满分为100分，统计表中 $a$ ， $b$ 满足 $b = 2 a$ ．请根据所给信息，解答下列问题：

甲组20名学生竞赛成绩统计表

成绩（分 $)$	70	80	90	100
人数	3	$a$	$b$	5

（1）求统计表中 $a$ ， $b$ 的值；

（2）小明按以下方法计算甲组20名学生竞赛成绩的平均分是： $(70 + 80 + 90 + 100) \div 4 = 85$ （分 $)$ ．根据所学统计知识判断小明的计算是否正确，若不正确，请写出正确的算式并计算出结果；

（3）如果依据平均成绩确定竞赛结果，那么竞赛成绩较好的是哪个组？请说明理由．

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + 3$ 交 $x$ 轴于 $A (3, 0)$ ， $B (- 1, 0)$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ ，动点 $P$ 在抛物线的对称轴上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当以 $P$ ， $B$ ， $C$ 为顶点的三角形周长最小时，求点 $P$ 的坐标及 $ΔPBC$ 的周长；

（3）若点 $Q$ 是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点 $Q$ ，使得以 $A$ ， $C$ ， $P$ ， $Q$ 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

已知 $ΔAOB$ 和 $ΔMON$ 都是等腰直角三角形 $(\frac{\sqrt{2}}{2} OA < OM < OA)$ ， $∠ AOB = ∠ MON = 90 °$ ．

（1）如图1，连接 $AM$ ， $BN$ ，求证： $AM = BN$ ；

（2）将 $ΔMON$ 绕点 $O$ 顺时针旋转．

①如图2，当点 $M$ 恰好在 $AB$ 边上时，求证： $A M^{2} + B M^{2} = 2 O M^{2}$ ；

②当点 $A$ ， $M$ ， $N$ 在同一条直线上时，若 $OA = 4$ ， $OM = 3$ ，请直接写出线段 $AM$ 的长．

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，过点 $A$ 作 $⊙ O$ 的切线 $AC$ ，点 $P$ 是射线 $AC$ 上的动点，连接 $OP$ ，过点 $B$ 作 $BD / / OP$ ，交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接 $PD$ ．

（1）求证： $PD$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）当四边形 $POBD$ 是平行四边形时，求 $∠ APO$ 的度数．