-优题课

如图,在三棱锥 $P - A B C$ 中, $A B = A C, D$ 为 $B C$ 的中点, $P O ⊥$ 平面 $A B C$ ,垂足 $O$ 落在线段 $A D$ 上,已知 $B C = 8, P O = 4, A O = 3, O D = 2$

（1）证明: $A P ⊥ B C$ ；

（2）在线段 $A P$ 上是否存在点 $M$ ,使得二面角 $A - M C - β$ 为直二面角？若存在,求出 $A M$ 的长;若不存在,请说明理由．

已知公差不为0的等差数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1}$ 为 $a (a \in R)$ 设数列的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $\frac{1}{a_{1}}, \frac{1}{a_{2}}, \frac{1}{a_{4}}$ 成等比数列．
（1）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式及 $S_{n}$ ；
（2）记 $A_{n} = \frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \frac{1}{S_{3}} + \dots + \frac{1}{S_{n}}$ ， $B_{n} = \frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{2^{n - 1}}}$ ，当 $n \geq 2$ 时，试比较 $A_{n}$ 与 $B_{n}$ 的大小．

在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C,$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ．已知 $\sin A + \sin C = p \sin B （ p \in R ）$ ,且 $a c = \frac{1}{4} b^{2}$ ．
（1）当 $p = \frac{5}{4} ， b = 1$ 时，求 $a, c$ 的值；
（2）若角 $B$ 为锐角，求 $p$ 的取值范围．

(1）已知函数 $f (x) = \ln x - x + 1, x \in (0, + \infty)$ ，求函数 $f (x)$ 的最大值；
(2）设 $a_{1}, b_{1} (k = 1, 2, \dots, n)$ 均为正数，证明：

①若 $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n} ⩽ b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n}$ ，则 ${a_{1}}^{b_{1}} {a_{2}}^{b_{2}} \dots {a_{n}}^{b_{n}} ⩽ 1$ ；

②若 $b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n} = 1$ ，则 $\frac{1}{n} ⩽ {b_{1}}^{b_{1}} {b_{2}}^{b_{2}} \dots {b_{n}}^{b_{n}} ⩽ {b_{1}}^{2} + {b_{2}}^{2} + \dots + {b_{n}}^{2}$

平面内与两定点 $A_{1} (- a, 0), A_{2} (a, 0) (a > 0)$ 连线的斜率之积等于非零常数 $m$ 的点的轨迹，加上 $A_{1}, A_{2}$ 两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线．
（1）求曲线 $C$ 的方程，并讨论 $C$ 的形状与 $m$ 值的关系；
（2）当 $m = - 1$ 时，对应的曲线为 $C_{1}$ ；对给定的 $m \in (- 1, 0) \cup (0, + \infty)$ 对应的曲线为 $C_{2}$ ，设 $F_{1}, F_{2}$ 是 $C_{2}$ 的两个焦点．试问：在 $C_{1}$ 上，是否存在点N，使得 $∆ F_{1} N F_{2}$ 的面积 $S = |m| a^{2}$ ．若存在，求 $\tan F_{1} N F_{2}$ 的值；若不存在，请说明理由．