(本小题满分12分)
已知函数
为奇函数，函数
在区间
上单调递减，在
上单调递增.
（I）求实数
的值；
（II）求
的值及
的解析式；
（Ⅲ）设
，试证：对任意的
且
都有
.
已知锐角
中的内角
、
、
的对边分别为
、
、
，定义向量
，
，且
.
（1）求
的单调减区间；
（2）如果
，求的面积的最大值.
对于
，把
表示
，当
时，
；当
时，
为0或1. 记
为上述表示中为0的个数（例如：
，
，
，
），若
，
，
，则（1）
.
（2）
.
已知函数
．
（Ⅰ）当
时，函数
取得极大值，求实数
的值；
（Ⅱ）已知结论：若函数在区间
内存在导数，则存在
，使得
. 试用这个结论证明：若函数
（其中
），则对任意
，都有
；
（Ⅲ）已知正数
满足
，求证：对任意的实数
，若
时，都
有
.
已知△
的两个顶点
的坐标分别是
，且
所在直线的斜率之积等于
．
（Ⅰ）求顶点
的轨迹
的方程，并判断轨迹为何种圆锥曲线；
（Ⅱ）当
时，过点
的直线
交曲线于
两点，设点
关于
轴的对称
点为
(
不重合) 试问：直线
与
轴的交点是否是定点？若是，求出定点，若不是，请说明理由.
如图是在竖直平面内的一个“通道游戏”．图中竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交点处相遇，若竖直线段有一条的为第一层，有二条的为第二层， ，依次类推．现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动，若在通道的分叉处，小弹子以相同的概率落入每个通道．记小弹子落入第
层第
个竖直通道（从左至右）的概率为
，某研究性学习小组经探究发现小弹子落入第
层的第
个通道的次数服从二项分布，请你解决下列问题.
（Ⅰ）试求
及
的值，并猜想的表达式；（不必证明）
（Ⅱ）设小弹子落入第6层第个竖直通道得到分数为
，其中
，试求的分布列及数学期望．