先化简，再求值：，其中.-优题课

先化简，再求值： $\frac{1}{x + 1} - \frac{3 - x}{x^{2} - 6 x + 9} \div \frac{x^{2} + x}{x - 3}$ ，其中 $x = \sqrt{2}$ ．

如图，二次函数 $y = x^{2} + bx + c$ 的图象交 $x$ 轴于点 $A (- 3, 0)$ ， $B (1, 0)$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ．点 $P (m, 0)$ 是 $x$ 轴上的一动点， $PM ⊥ x$ 轴，交直线 $AC$ 于点 $M$ ，交抛物线于点 $N$ ．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）①若点 $P$ 仅在线段 $AO$ 上运动，如图，求线段 $MN$ 的最大值；

②若点 $P$ 在 $x$ 轴上运动，则在 $y$ 轴上是否存在点 $Q$ ，使以 $M$ ， $N$ ， $C$ ， $Q$ 为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，正方形 $ABCD$ 和正方形 $CEFG$ （其中 $BD > 2 CE)$ ， $BG$ 的延长线与直线 $DE$ 交于点 $H$ ．

（1）如图1，当点 $G$ 在 $CD$ 上时，求证： $BG = DE$ ， $BG ⊥ DE$ ；

（2）将正方形 $CEFG$ 绕点 $C$ 旋转一周．

①如图2，当点 $E$ 在直线 $CD$ 右侧时，求证： $BH - DH = \sqrt{2} CH$ ；

②当 $∠ DEC = 45 °$ 时，若 $AB = 3$ ， $CE = 1$ ，请直接写出线段 $DH$ 的长．

在抗击新冠肺炎疫情期间，玉龙社区购买酒精和消毒液两种消毒物资，供居民使用．第一次购买酒精和消毒液若干，酒精每瓶10元，消毒液每瓶5元，共花费了350元；第二次又购买了与第一次相同数量的酒精和消毒液，由于酒精和消毒液每瓶价格分别下降了 $30 %$ 和 $20 %$ ，只花费了260元．

（1）求每次购买的酒精和消毒液分别是多少瓶？

（2）若按照第二次购买的价格再一次购买，根据需要，购买的酒精数量是消毒液数量的2倍，现有购买资金200元，则最多能购买消毒液多少瓶？

在"尚科学，爱运动"主题活动中，某校在七年级学生中随机抽取部分同学就"一分钟跳绳"进行测试，并将测试成绩 $x$ （单位：次）进行整理后分成六个等级，分别用 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ 表示，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图表．请根据图表中所给出的信息解答下列问题：

组别	成绩 $x$ （单位：次）	人数
$A$	$70 ⩽ x < 90$	4
$B$	$90 ⩽ x < 110$	15
$C$	$110 ⩽ x < 130$	18
$D$	$130 ⩽ x < 150$	12
$E$	$150 ⩽ x < 170$	$m$
$F$	$170 ⩽ x < 190$	5

（1）本次测试随机抽取的人数是　　人， $m =$ 　　；

（2）求 $C$ 等级所在扇形的圆心角的度数；

（3）若该校七年级学生共有300人，且规定不低于130次的成绩为优秀，请你估计该校七年级学生中有多少人能够达到优秀．