学校欲在操场边上一直角三角形空地ABC上种植草坪,并需铺设一根水管EF(E在AC上,F在AB上)用于灌溉,已知∠A=30°,∠C=90°,BC=2a,D是BC中点,为确保灌溉的效果,铺设时要求∠EDF=
60°。现有两种方案可供参考。甲方案:取AC的中点E铺设水管;乙方案:取AB的中点F铺设水管。
(1)比较甲乙两种方案,哪一种方案更合理(EF的长较小的合理);
(2)学校研究小组通过研究得出:无论D在BC的什么位置,总存在E,F两点,使△DEF为正三角形。试证明该结论的正确性。
以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以
表示。
(Ⅰ)如果
,求乙组同学植树棵树的平均数和方差;
(Ⅱ)如果
,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望。
(注:方差
,其中
为
,
,……
的平均数)
如图,在四棱锥
中,
平面
,底面
是菱形,
.
(Ⅰ)求证: 平面 ;
(Ⅱ)若
,求
与
所成角的余弦值;
(Ⅲ)当平面
与平面
垂直时,求
的长.
已知函数
。
(Ⅰ)求
的最小正周期:
(Ⅱ)求
在区间
上的最大值和最小值。
已知函数
,
.
(Ⅰ)设函数
,求
的单调区间与极值;
(Ⅱ)设
,解关于
的方程
;
(Ⅲ)设
,证明:
.
过点 的椭圆 的离心率为 ,椭圆与 轴交于两点 、 ,过点 的直线 与椭圆交于另一点 ,并与 轴交于点 ,直线 与直线 交于点 .
(I)当直线
过椭圆右焦点时,求线段
的长;
(Ⅱ)当点
异于点
时,求证: