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题文

学校欲在操场边上一直角三角形空地ABC上种植草坪,并需铺设一根水管EF(E在AC上,F在AB上)用于灌溉,已知∠A=30°,∠C=90°,BC=2a,D是BC中点,为确保灌溉的效果,铺设时要求∠EDF=60°。现有两种方案可供参考。甲方案:取AC的中点E铺设水管;乙方案:取AB的中点F铺设水管。

(1)比较甲乙两种方案,哪一种方案更合理(EF的长较小的合理);
(2)学校研究小组通过研究得出:无论D在BC的什么位置,总存在E,F两点,使△DEF为正三角形。试证明该结论的正确性。

科目 数学   题型 解答题   难度 中等
知识点: 三面角、直三面角的基本性质
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如图,A、C两岛之间有一片暗礁,一艘小船于某日上午8时从A岛出发,以
10海里/小时的速度,沿北偏东75°方向直线航行,下午1时到达B处.然后以同样的速度,
沿北偏东15°方向直线航行,下午4时到达C岛.
(Ⅰ)求A、C两岛之间的直线距离;
(Ⅱ)求∠BAC的正弦值.

设各项为正的数列,其前项和为,并且对所有正整数与2的等差中项等于与2的等比中项.
(1)写出数列的前二项;
(2)求数列的通项公式(写出推证过程);
(3)令,求的前项和

在△中,角A、B、C的对边分别为.且
(1)求的值;
(2)若,求的最大值.

要将两种厚度、材质相同,大小不同的钢板截成三种规格的成品.每
张钢板可同时截得三种规格的块数如下表:

成品规格类型
钢板类型

A规格

B规格

C规格
第一种钢板
1
2
1
第二种钢板
1
1
3

每张钢板的面积:第一张为,第二张为.今需要三种规格的成品各为12、15、27块.则两种钢板各截多少张,可得所需三种规格的成品,且使所用钢板的面积最少?

已知函数,其中为实常数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)当变化时,讨论关于的不等式的解集.

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