已知：关于的一元二次方程(1)若方程有两个不相等的实数根，求-优题课

已知：关于的一元二次方程
(1) 若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
（2）求证：无论为何值，方程总有一个固定的根；
（3）若为整数，且方程的两个根均为正整数，求的值.

科目数学题型解答题难度中等

以四边形 $ABCD$ 的边 $AB ， BC ， CD ， DA$ 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为 $E ， F ， G ， H$ ，顺次连接这四个点，得四边形 $EFGH$ .

（1）如图①，当四边形 $ABCD$ 为正方形时，我们发现四边形 $EFGH$ 是正方形；

如图②，当四边形 $ABCD$ 为矩形时，请判断：四边形 $EFGH$ 的形状（不要求证明）；

（2）如图③，当四边形 $ABCD$ 为一般平行四边形时，设 $∠ ADC = α (0^{\circ} < α < 90^{\circ})$ .

①试用含 $α$ 的代数式表示 $∠ HAE$ ；

②求证： $HE = HG$ ；

③四边形 $EFGH$ 是什么四边形?并说明理由.

如图，设 $P$ 为等腰直角三角形 $ACB$ 斜边 $AB$ 上任意一点， $PE ⊥ AC$ 于点 $E ， PF ⊥ BC$ 于点 $F ， PG ⊥ EF$ 于 $G$ 点， $EF$ 交 $CP$ 于点 $H$ ，延长 $GP$ 并在其延长线上取一点 $D$ ，使得 $PD = PC$ .求证： $BC ⊥ BD$ ，且 $BC = BD$ .

在 $Rt △ ABC$ 中， $∠ BAC = 90^{\circ} ， AC = 2 AB$ ，点 $D ， P$ 分别是 $AC$ ， $BC$ 的中点， $△ ADE$ 是等腰三角形， $∠ AED = 90^{\circ}$ ，连接 $BE ， EC$ .

（1）判断线段 $BE$ 和 $EC$ 的关系，并证明你的结论；

（2）连接 $PA ， PE$ ，过点 $A$ 作 $AM / / PE$ ，过点 $E$ 作 $EM / / PA ， AM$ 和 $EM$ 相交于点 $M$ ，在图中先补充图形，再判断四边形 $PAME$ 的形状，并证明你的结论.

已知，如图，在菱形 $ABCD$ 中， $F$ 为边 $BC$ 的中点， $DF$ 与对角线 $AC$ 交于点 $M$ ，过 $M$ 作 $ME ⊥ CD$ 于点 $E ， ∠ 1 = ∠ 2$ .

（1）若 $CE = 1$ ，求 $BC$ 的长；

（2）求证： $AM = DF + MF$ .

现有一张矩形纸片 $ABCD$ （如图）。其中 $AB = 4 cm ， BC = 6 cm$ ，点 $E$ 是 $BC$ 的中点，将纸片沿直线 $AE$ 折叠，点 $B$ 落在四边形 $AECD$ 内，记为点 $B^{'}$ ，求线段 $B^{'} C$ 的长.

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