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题文

(本小题满分14分)已知函数.
(Ⅰ)当时,求曲线处的切线方程;
(Ⅱ)求函数在区间上的最小值;
(Ⅲ)若关于的方程在区间内有两个不相等的实数根,求实数a的取值范围.

科目 数学   题型 解答题   难度 中等
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(1)已知函数 f x = r x - x ` + 1 - r x > 0 ,其中 r 为有理数,且 0 < r < 1 . 求 f x 的最小值;
(2)试用(1)的结果证明如下命题:设 a 1 0 , a 2 0 b 1 , b 2 为正有理数. 若 b 1 + b 2 = 1 ,则 a 1 k 1 a 2 k 2 a 1 b 1 + a 2 b 2
(3)请将(2)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题.
注:当 α 为正有理数时,有求导公式 x α ` = α x α - 1 .

A 是单位圆 x 2 + y 2 = 1 上的任意一点, l 是过点 A x 轴垂直的直线, D 是直线 l x &#xa0;轴的交点,点 M 在直线 l 上,且满足 D M = m D A m > 0 , m 1 . 当点 A 在圆上运动时,记点 M 的轨迹为曲线 C
(Ⅰ)求曲线 C 的方程,判断曲线 C 为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标;
(Ⅱ)过原点且斜率为 k 的直线交曲线 C P Q 两点,其中 P 在第一象限,它在 y 轴上的射影为点 N ,直线 Q N 交曲线 C 于另一点 H . 是否存在 m ,使得对任意的 k > 0 ,都有 P Q P H ?若存在,求 m 的值;若不存在,请说明理由.

根据以往的经验,某工程施工期间的降水量 X (单位: m m )对工期的影响如下表:

降水量 X X < 300 300 X < 700 700 X < 900 X 900
工期延误天数 Y 0
2
6
10

历年气象资料表明,该工程施工期间降水量 X 小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9. 求:
(Ⅰ)工期延误天数 Y 的均值与方差;
(Ⅱ)在降水量X至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率.

如图1, A C B = 45 ° , B C = 3 ,过动点 A A D B C ,垂足 D 在线段 B C 上且异于点 B ,连接 A B ,沿 A D A B D 折起,使 B D C = 90 ° (如图2所示).
(Ⅰ)当 B D 的长为多少时,三棱锥 A - B C D 的体积最大;
(Ⅱ)当三棱锥 A - B C D 的体积最大时,设点 E , M 分别为棱 B C , A C 的中点,试在棱 C D 上确定一点 N ,使得 E N B M ,并求 E N 与平面 B M N 所成角的大小.

image.png

已知等差数列 a n 前三项的和为 - 3 ,前三项的积为 8 .
(Ⅰ)求等差数列 a n 的通项公式;
(Ⅱ)若 a 2 a 3 a 1 成等比数列,求数列 a n 的前 n 项和

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