（本小题满分12分）某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水-优题课

在 $△ ABC$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ．已知 $b + c = 2 a$ ， $3 c \sin B = 4 a \sin C$ ．

（Ⅰ）求 $\cos B$ 的值；

（Ⅱ）求 $\sin (2 B + \frac{π}{6})$ 的值．

已知函数 $f (x) = \frac{1}{4} x^{3} - x^{2} + x$ ．

（Ⅰ）求曲线 $y = f (x)$ 的斜率为1的切线方程；

（Ⅱ）当 $x \in [- 2, 4]$ 时，求证： $x - 6 \leq f (x) \leq x$ ；

（Ⅲ）设 $F (x) = | f (x) - (x + a) | (a \in R)$ ，记 $F (x)$ 在区间 $[- 2, 4]$ 上的最大值为 $M (a)$ ，当 $M (a)$ 最小时，求 $a$ 的值．

已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的右焦点为 $(1, 0)$ ，且经过点 $A (0, 1)$ ．

（Ⅰ）求椭圆 C的方程；

（Ⅱ）设 O为原点，直线 $l : y = kx + t (t \neq \pm 1)$ 与椭圆 C交于两个不同点 P， Q，直线 $AP$ 与 x轴交于点 M，直线 $AQ$ 与 x轴交于点 N，若 $| OM | \cdot | ON | = 2$ ，求证：直线 l经过定点．

如图，在四棱锥 $P - ABCD$ 中， $PA ⊥ 平面 A B C D$ ，底部 ABCD为菱形， E为 CD的中点．

（Ⅰ）求证： $BD ⊥ 平面 P A C$ ；

（Ⅱ）若 $∠ ABC = 60 °$ ，求证： $平面 PAB ⊥ 平面 PAE$ ；

（Ⅲ）棱 PB上是否存在点 F，使得 $CF ∥ 平面 PAE$ ？说明理由．

改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：

支付金额

支付方式

不大于 $2000$ 元

大于 $2000$ 元

仅使用A

27人

3人

仅使用B

24人

1人

（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；

（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于 $2000$ 元的概率；

（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于 $2000$ 元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于 $2000$ 元的人数有变化？说明理由．