已知过抛物线y22pxp<0的焦点,斜率为22的直线交抛物线-优题课

题文

已知过抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点,斜率为 $2 \sqrt{2}$ 的直线交抛物线于 $A (x_{1}, y_{2}), B (x_{2}, y_{2}), (x_{1} < x_{2})$ 两点，且 $|A B| = 9$ ．
（1）求该抛物线的方程；
（2） $O$ 为坐标原点, $C$ 为抛物线上一点,若 $\overset{⇀}{O C} = \overset{⇀}{O A} + λ \overset{⇀}{O B}$ ,求 $λ$ 的值．

科目数学题型解答题难度中等

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已知常数 $a > 0$ ,函数 $f (x) = \ln (1 + a x) - \frac{2 x}{x + 2}$ .
(1)讨论 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上的单调性;
(2)若 $f (x)$ 存在两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ,且 $f (x_{1}) + f (x_{2}) > 0$ ,求 $a$ 的取值范围.

如图, $O$ 为坐标原点,椭圆 $C_{1} :$ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > b > 0$ )的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ,离心率为 $e_{1}$ ;双曲线 $C_{2} :$ $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{3}, F_{4}$ ,离心率为 $e_{2}$ ,已知 $e_{1} e_{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ,且 $| F_{2} F_{4} | = \sqrt{3} - 1$ .

(1)求 $C_{1} C_{2}$ 的方程;

(2)过 $F_{1}$ 点作 $C_{}$ 的不垂直于 $y$ 轴的弦 $A B$ , $M$ 为 $A B$ 的中点,当直线 $O M$ 与 $C_{2}$ 交于 $P, Q$ 两点时,求四边形 $A P B Q$ 面积的最小值.

已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ , $|a_{n + 1} - a_{n}| = p^{n}$ , $n \in N^{*}$ .

(1)若 $\{a_{n}\}$ 为递增数列,且 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 成等差数列,求 $P$ 的值;
(2)若 $p = \frac{1}{2}$ ,且 $\{a_{2 n - 1}\}$ 是递增数列, $\{a_{2 n}\}$ 是递减数列,求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式.

如图,在平面四边形 $A B C D$ 中, $A D = 1, C D = 2, A C = \sqrt{7}$ .
(1)求 $\cos ∠ C A D$ 的值;
(2)若 $\cos ∠ B A D = - \frac{\sqrt{7}}{14}$ , $\sin ∠ C B A = \frac{\sqrt{21}}{6}$ ,求 $B C$ 的长.

某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为 $\frac{2}{5}$ 和 $\frac{3}{5}$ ,现安排甲组研发新产品 $A$ ,乙组研发新产品 $B$ .设甲,乙两组的研发是相互独立的.
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;
(2)若新产品 $A$ 研发成功,预计企业可获得万元,若新产品 $B$ 研发成功,预计企业可获得利润万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望.

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