某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容-优题课

某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为.设该容器的建造费用为千元.

（Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的.

科目数学题型解答题难度较难

如图, $O$ 为数轴的原点, $A, B, M$ 为数轴上三点, $C$ 为线段 $O M$ 上的动点,设 $x$ 表示 $C$ 与原点的距离, $y$ 表示 $C$ 到 $A$ 距离4倍与 $C$ 道 $B$ 距离的6倍的和.

（1）将 $y$ 表示成 $x$ 的函数；
（2）要使 $y$ 的值不超过70, $x$ 应该在什么范围内取值？

已知曲线 $C_{1}$ ： ${\begin{matrix} x = - 4 + \cos t \\ y = 3 + \sin t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数）， $C_{2}$ ： ${\begin{matrix} x = 8 \cos θ \\ y = 3 \sin θ \end{matrix}$ （ $θ$ 为参数）。
（1）化 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若 $C_{1}$ 上的点 $P$ 对应的参数为 $t = \frac{π}{2}$ ， $Q$ 为上的动点，求 $P Q$ 中点 $M$ 到直线 $C_{3} : {\begin{matrix} x = 3 + 2 t \\ y = - 2 + t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数）距离的最小值.

已知函数 $f (x) = (x^{3} + 3 x^{2} + a x + b) e^{- x}$

（I)如果 $a = b = - 3$ ，求 $f (x)$ 的单调区间；
（II)若 $f (x)$ 在 $(- \infty, α), (2, β)$ 单调增加，在 $(α, 2) (β, + \infty)$ 单调减少，证明 $α - β$ ＜6.

已知椭圆 $C$ 的中心为直角坐标系 $x O y$ 的原点，焦点在 $s$ 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；
（Ⅱ）若 $P$ 为椭圆 $C$ 上的动点， $M$ 为过 $P$ 且垂直于 $x$ 轴的直线上的点， $\frac{|O P|}{|O M|} = λ$ ，求点 $M$ 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

如图,四棱锥 $S - A B C D$ 的底面是正方形,每条侧棱的长都是地面边长的 $\sqrt{2}$ 倍, $P$ 为侧棱 $S D$ 上的点.

（Ⅰ）求证： $A C ⊥ S D$ ;
（Ⅱ）若 $S D ⊥$ 平面 $P A C$ ,求二面角 $P - A C - D$ 的大小;
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱 $S C$ 上是否存在一点 $E$ ,使得 $B E ∥$ 平面 $P A C$ .若存在,求 $S E : E C$ 的值；若不存在，试说明理由.

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