某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容-优题课

在直角坐标系xOy中，直线l₁的参数方程为 $\{\begin{matrix} x = 2 + t, \\ y = kt, \end{matrix}$ （t为参数），直线l₂的参数方程为 $\{\begin{matrix} x = - 2 + m, \\ y = \frac{m}{k}, \end{matrix} （ m 为参数）$ .设l₁与l₂的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．

（1）写出C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 $l_{3} : ρ (\cos θ + \sin θ) - \sqrt{2} = 0$ ，M为l₃与C的交点，求M的极径.

已知函数 $f (x) = x - 1 - a \ln x$ ．

（1）若 $f (x) \geq 0$ ，求a的值；

（2）设m为整数，且对于任意正整数n， $(1 + \frac{1}{2}) (1 + \frac{1}{2^{2}}) \dots (1 + \frac{1}{2^{n}}) < m$ ，求m的最小值．

已知抛物线C：y²=2x，过点（2,0）的直线l交C于A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.

（1）证明：坐标原点O在圆M上；

（2）设圆M过点 $P (4, - 2)$ ，求直线l与圆M的方程.

如图，四面体 ABCD中， $△ A B C$ 是正三角形， $△ A C D$ 是直角三角形， $∠ A B D = ∠ C B D ， A B = B D$ ．

（1）证明： $平面 A C D ⊥ 平面 A B C$ ；

（2）过 AC的平面交 BD于点 E，若平面 AEC把四面体 ABCD分成体积相等的两部分，求二面角 $D - A E - C$ 的余弦值.

某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温	[10，15）	[15，20）	[20，25）	[25，30）	[30，35）	[35，40）
天数	2	16	36	25	7	4

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．