设fxex1ax，其中a为正实数（Ⅰ）当a43时，求fx的极-优题课

题文

设 $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + a x}$ ，其中 $a$ 为正实数
（Ⅰ）当 $a = \frac{4}{3}$ 时，求 $f (x)$ 的极值点；
（Ⅱ）若 $f (x)$ 为 $R$ 上的单调函数，求 $a$ 的取值范围。

科目数学题型解答题难度中等

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在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知双曲线 $C_{1} : 2 x^{2} - y^{2} = 1$ .
（1）过 $C_{1}$ 的左顶点引 $C_{1}$ 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及 $x$ 轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线 $l$ 交 $C_{1}$ 于 $P$ . $Q$ 两点，若 $l$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相切，求证： $O P ⊥ O Q$ ；
（3）设椭圆 $C_{2} : 4 x^{2} + y^{2} = 1$ . 若 $M, N$ 分别是 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 上的动点，且 $O M ⊥ O N$ ，求证： $O$ 到直线 $M N$ 的距离是定值.

海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为 $y$ 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里 $A$ 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线 $y = \frac{12}{49} x^{2}$ ；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发 $t$ 小时后，失事船所在位置的横坐标为.

（1）当 $t = 0.5$ 时，写出失事船所在位置 $P$ 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？

已知函数 $f (x) = l g (x + 1)$ .
（1）若 $0 < f (1 - 2 x) - f (x) < 1$ ，求 $x$ 的取值范围；
（2）若 $g (x)$ 是以2为周期的偶函数，且当 $0 \leq x \leq 1$ 时，有 $g (x) = f (x)$ ，求函数 $y = g (x)$ $(x \in [1, 2])$ 的反函数.

如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形， $P A ⊥ 底面 A B C D$ ， $E$ 是 $P C$ 的中点.已知 $A B = 2$ ， $A D = 2 \sqrt{2}$ ， $P A = 2$ .求：

（1）三角形 $P C D$ 的面积；
（2）异面直线 $B C$ 与 $A E$ 所成的角的大小.

已知函数 $f (x) = e^{x} - a x$ ，其中 $a > 0$ .
（1）若对一切 $x \in R, f (x) \geq 1$ 恒成立，求 $a$ 的取值集合；
（2)在函数 $f (x)$ 的图像上去定点 $A (x_{1}, f (x_{1})), B (x_{2}, f (x_{2})) (x_{1} < x_{2})$ ，记直线 $A B$ 的斜率为 $k$ ，证明：存在 $x_{0} \in (x_{1}, x_{2})$ ,使 $f ` (x_{0}) = k$ 恒成立.

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