如图，已知∠AOB＝120°，OM平分∠AOB，将正三角形的-优题课

如图，已知∠AOB＝120°，OM平分∠AOB，将正三角形的一个顶点P放在射
线OM上，两边分别与OA、OB交于点C、D．
(1)如图①若边PC和OA垂直，那么线段PC和PD相等吗？为什么？
(2)如图②将正三角形绕P点转过一角度，设两边与OA、OB分别交于C'，D'，那么线段PC'
和PD'相等吗？为什么？

科目数学题型解答题难度较难

知识点：三角形的五心

有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度．图2是这种升降熨烫台的平面示意图． $AB$ 和 $CD$ 是两根相同长度的活动支撑杆，点 $O$ 是它们的连接点， $OA = OC$ ， $h (cm)$ 表示熨烫台的高度．

（1）如图 $2 - 1$ ．若 $AB = CD = 110 cm$ ， $∠ AOC = 120 °$ ，求 $h$ 的值；

（2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度为 $120 cm$ 时，两根支撑杆的夹角 $∠ AOC$ 是 $74 °$ （如图 $2 - 2)$ ．求该熨烫台支撑杆 $AB$ 的长度（结果精确到 $1 cm)$ ．

（参考数据： $\sin 37 ° \approx 0.6$ ， $\cos 37 ° \approx 0.8$ ， $\sin 53 ° \approx 0.8$ ， $\cos 53 ° \approx 0.6)$

解不等式组 $\{\begin{matrix} 3 x - 2 < x, ① \\ \frac{1}{3} x < - 2, ② \end{matrix}$ ．

计算： $\sqrt{8} + | \sqrt{2} - 1 |$ ．

如图，已知 $AC$ ， $BD$ 为 $⊙ O$ 的两条直径，连接 $AB$ ， $BC$ ， $OE ⊥ AB$ 于点 $E$ ，点 $F$ 是半径 $OC$ 的中点，连接 $EF$ ．

（1）设 $⊙ O$ 的半径为1，若 $∠ BAC = 30 °$ ，求线段 $EF$ 的长．

（2）连接 $BF$ ， $DF$ ，设 $OB$ 与 $EF$ 交于点 $P$ ，

①求证： $PE = PF$ ．

②若 $DF = EF$ ，求 $∠ BAC$ 的度数．

在平面直角坐标系中，设二次函数 $y_{1} = x^{2} + bx + a$ ， $y_{2} = a x^{2} + bx + 1 (a$ ， $b$ 是实数， $a \neq 0)$ ．

（1）若函数 $y_{1}$ 的对称轴为直线 $x = 3$ ，且函数 $y_{1}$ 的图象经过点 $(a, b)$ ，求函数 $y_{1}$ 的表达式．

（2）若函数 $y_{1}$ 的图象经过点 $(r, 0)$ ，其中 $r \neq 0$ ，求证：函数 $y_{2}$ 的图象经过点 $(\frac{1}{r}$ ， $0)$ ．

（3）设函数 $y_{1}$ 和函数 $y_{2}$ 的最小值分别为 $m$ 和 $n$ ，若 $m + n = 0$ ，求 $m$ ， $n$ 的值．

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