如图，AB是半径O的直径，AB2．射线AM、BN为半圆O的切-优题课

如图，AB是半径O的直径，AB=2．射线AM、BN为半圆O的切线．在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC．过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F．过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q．
（1）求证：△ABC∽△OFB；
（2）当△ABD与△BFO的面枳相等时，求BQ的长；
（3）求证：当D在AM上移动时（A点除外），点Q始终是线段BF的中点．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆幂定理

如图，已知等边 $ΔABC$ ， $CD ⊥ AB$ 于 $D$ ， $AF ⊥ AC$ ， $E$ 为线段 $CD$ 上一点，且 $CE = AF$ ，连接 $BE$ ， $BF$ ， $EG ⊥ BF$ 于 $G$ ，连接 $DG$ ．

（1）求证： $BE = BF$ ；

（2）试说明 $DG$ 与 $AF$ 的位置关系和数量关系．

公园内一凉亭，凉亭顶部是一圆锥形的顶盖，立柱垂直于地面，在凉亭内中央位置有一圆形石桌，某数学研究性学习小组，将此凉亭作为研究对象，并绘制截面示意图，其中顶盖母线 $AB$ 与 $AC$ 的夹角为 $124 °$ ，凉亭顶盖边缘 $B$ 、 $C$ 到地面的距离为2.4米，石桌的高度 $DE$ 为0.6米，经观测发现：当太阳光线与地面的夹角为 $42 °$ 时，恰好能够照到石桌的中央 $E$ 处 $(A$ 、 $E$ 、 $D$ 三点在一条直线上），请你求出圆锥形顶盖母线 $AB$ 的长度．（结果精确到 $0.1 m)$ （参考数据： $\sin 62 ° \approx 0.88$ ， $\tan 42 ° \approx 0.90)$

某校为了庆祝建国七十周年，决定举办一台文艺晚会，为了了解学生最喜爱的节目形式，随机抽取了部分学生进行调查，规定每人从“歌曲”，“舞蹈”，“小品”，“相声”和“其它”五个选项中选择一个，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表，请根据图中信息，解答下列题：

最喜爱的节目	人数
歌曲	15
舞蹈	$a$
小品	12
相声	10
其它	$b$

（1）在此次调查中，该校一共调查了　　名学生；

（2） $a =$ 　　； $b =$ 　　；

（3）在扇形计图中，计算“歌曲”所在扇形的圆心角的度数；

（4）若该校共有1200名学生，请你估计最喜爱“相声”的学生的人数．

先化简，再求值： $(a - 1) \div (a + \frac{1}{a} - 2)$ ，其中 $a = - 1$ ．

如图，抛物线与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C (0, - 2)$ ，点 $A$ 的坐标是 $(2, 0)$ ， $P$ 为抛物线上的一个动点，过点 $P$ 作 $PD ⊥ x$ 轴于点 $D$ ，交直线 $BC$ 于点 $E$ ，抛物线的对称轴是直线 $x = - 1$ ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点 $P$ 在第二象限内，且 $PE = \frac{1}{4} OD$ ，求 $ΔPBE$ 的面积．

（3）在（2）的条件下，若 $M$ 为直线 $BC$ 上一点，在 $x$ 轴的上方，是否存在点 $M$ ，使 $ΔBDM$ 是以 $BD$ 为腰的等腰三角形？若存在，求出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．