(10分)如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA、O-优题课

(10分)如图1，O为正方形ABCD的中心，

分别延长OA、OD到点F、E，使OF＝2OA，
OE＝2OD，连接EF．将△EOF绕点O逆时针
旋转角得到△E₁OF₁(如图2)．
(1)探究AE₁与BF₁的数量关系，并给予证明；
(2)当＝30°时，求证：△AOE₁为直角三角形．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：对称式和轮换对称式

已知点 $O$ 是正方形 $ABCD$ 对角线 $BD$ 的中点．

（1）如图1，若点 $E$ 是 $OD$ 的中点，点 $F$ 是 $AB$ 上一点，且使得 $∠ CEF = 90 °$ ，过点 $E$ 作 $ME / / AD$ ，交 $AB$ 于点 $M$ ，交 $CD$ 于点 $N$ ．求证：

① $∠ AEM = ∠ FEM$ ； ②点 $F$ 是 $AB$ 的中点；

（2）如图2，若点 $E$ 是 $OD$ 上一点，点 $F$ 是 $AB$ 上一点，且使 $\frac{DE}{DO} = \frac{AF}{AB} = \frac{1}{3}$ ，请判断 $ΔEFC$ 的形状，并说明理由；

（3）如图3，若 $E$ 是 $OD$ 上的动点（不与 $O$ ， $D$ 重合），连接 $CE$ ，过 $E$ 点作 $EF ⊥ CE$ ，交 $AB$ 于点 $F$ ，当 $\frac{DE}{DB} = \frac{m}{n}$ 时，请猜想 $\frac{AF}{AB}$ 的值（请直接写出结论）．

如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + 1$ 经过 $A (- 1, 0)$ ， $B (1, 1)$ 两点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）阅读理解：

在同一平面直角坐标系中，直线 $l_{1} : y = k_{1} x + b_{1} (k_{1}$ ， $b_{1}$ 为常数，且 $k_{1} \neq 0)$ ，直线 $l_{2} : y = k_{2} x + b_{2} (k_{2}$ ， $b_{2}$ 为常数，且 $k_{2} \neq 0)$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $k_{1} \cdot k_{2} = - 1$ ．

解决问题：

①若直线 $y = 3 x - 1$ 与直线 $y = mx + 2$ 互相垂直，求 $m$ 的值；

②抛物线上是否存在点 $P$ ，使得 $ΔPAB$ 是以 $AB$ 为直角边的直角三角形？若存在，请求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3） $M$ 是抛物线上一动点，且在直线 $AB$ 的上方（不与 $A$ ， $B$ 重合），求点 $M$ 到直线 $AB$ 的距离的最大值．

如图，已知 $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，过 $O$ 点作 $OP ⊥ AB$ ，交弦 $AC$ 于点 $D$ ，交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，且使 $∠ PCA = ∠ ABC$ ．

（1）求证： $PC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $∠ P = 60 °$ ， $PC = 2$ ，求 $PE$ 的长．

永州市是一个降水丰富的地区，今年4月初，某地连续降雨导致该地某水库水位持续上涨，下表是该水库4月1日 $~ 4$ 月4日的水位变化情况：

日期 $x$	1	2	3	4
水位 $y$ （米 $)$	20.00	20.50	21.00	21.50

（1）请建立该水库水位 $y$ 与日期之间的函数模型；

（2）请用求出的函数表达式预测该水库今年4月6日的水位；

（3）你能用求出的函数表达式预测该水库今年12月1日的水位吗？

如图，已知四边形 $ABCD$ 是菱形， $DF ⊥ AB$ 于点 $F$ ， $BE ⊥ CD$ 于点 $E$ ．

（1）求证： $AF = CE$ ；

（2）若 $DE = 2$ ， $BE = 4$ ，求 $\sin ∠ DAF$ 的值．