(10分)如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA、O-优题课

(10分)如图1，O为正方形ABCD的中心，

分别延长OA、OD到点F、E，使OF＝2OA，
OE＝2OD，连接EF．将△EOF绕点O逆时针
旋转角得到△E₁OF₁(如图2)．
(1)探究AE₁与BF₁的数量关系，并给予证明；
(2)当＝30°时，求证：△AOE₁为直角三角形．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：对称式和轮换对称式

有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的 $A$ 区就会自动加上 $a^{2}$ ，同时 $B$ 区就会自动减去 $3 a$ ，且均显示化简后的结果．已知 $A$ ， $B$ 两区初始显示的分别是25和 $- 16$ ，如图．

如，第一次按键后， $A$ ， $B$ 两区分别显示：

（1）从初始状态按2次后，分别求 $A$ ， $B$ 两区显示的结果；

（2）从初始状态按4次后，计算 $A$ ， $B$ 两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．

已知两个有理数： $- 9$ 和5．

（1）计算： $\frac{(- 9) + 5}{2}$ ；

（2）若再添一个负整数 $m$ ，且 $- 9$ ，5与 $m$ 这三个数的平均数仍小于 $m$ ，求 $m$ 的值．

如图，若 $b$ 是正数，直线 $l : y = b$ 与 $y$ 轴交于点 $A$ ；直线 $a : y = x - b$ 与 $y$ 轴交于点 $B$ ；抛物线 $L : y = - x^{2} + bx$ 的顶点为 $C$ ，且 $L$ 与 $x$ 轴右交点为 $D$ ．

（1）若 $AB = 8$ ，求 $b$ 的值，并求此时 $L$ 的对称轴与 $a$ 的交点坐标；

（2）当点 $C$ 在 $l$ 下方时，求点 $C$ 与 $l$ 距离的最大值；

（3）设 $x_{0} \neq 0$ ，点 $(x_{0}$ ， $y_{1})$ ， $(x_{0}$ ， $y_{2})$ ， $(x_{0}$ ， $y_{3})$ 分别在 $l$ ， $a$ 和 $L$ 上，且 $y_{3}$ 是 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 的平均数，求点 $(x_{0}$ ， $0)$ 与点 $D$ 间的距离；

（4）在 $L$ 和 $a$ 所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出 $b = 2019$ 和 $b = 2019.5$ 时“美点”的个数．

如图1和2， $▱ ABCD$ 中， $AB = 3$ ， $BC = 15$ ， $\tan ∠ DAB = \frac{4}{3}$ ．点 $P$ 为 $AB$ 延长线上一点，过点 $A$ 作 $⊙ O$ 切 $CP$ 于点 $P$ ，设 $BP = x$ ．

（1）如图1， $x$ 为何值时，圆心 $O$ 落在 $AP$ 上？若此时 $⊙ O$ 交 $AD$ 于点 $E$ ，直接指出 $PE$ 与 $BC$ 的位置关系；

（2）当 $x = 4$ 时，如图2， $⊙ O$ 与 $AC$ 交于点 $Q$ ，求 $∠ CAP$ 的度数，并通过计算比较弦 $AP$ 与劣弧 $\hat{PQ}$ 长度的大小；

（3）当 $⊙ O$ 与线段 $AD$ 只有一个公共点时，直接写出 $x$ 的取值范围．

长为 $300 m$ 的春游队伍，以 $v (m / s)$ 的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置 $O$ 时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为 $2 v (m / s)$ ，当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置 $O$ 开始行进的时间为 $t (s)$ ，排头与 $O$ 的距离为 $S_{头} (m)$ ．

（1）当 $v = 2$ 时，解答：

①求 $S_{头}$ 与 $t$ 的函数关系式（不写 $t$ 的取值范围）；

②当甲赶到排头位置时，求 $S_{头}$ 的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置 $O$ 的距离为 $S_{甲} (m)$ ，求 $S_{甲}$ 与 $t$ 的函数关系式（不写 $t$ 的取值范围）

（2）设甲这次往返队伍的总时间为 $T (s)$ ，求 $T$ 与 $v$ 的函数关系式（不写 $v$ 的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程．