已知抛物线yx2－2xm－1与x轴只有一个交点，且与y轴交于-优题课

已知抛物线y = x²－2x + m－1与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如图，设它的顶点为B．
（1）求m的值；
（2）过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证：△ABC是等腰直角三角形；
（3）将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C′，且与x轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点，如图．请在抛物线C′上求点P，使得△EFP是以EF为直角边的直角三角形．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：二次函数在给定区间上的最值

如图，已知 $∠ 1 = ∠ 2$ ， $∠ 3 = ∠ 4$ ，求证： $BC = BD$ ．

已知抛物线的顶点为 $(2, - 4)$ 并经过点 $(- 2, 4)$ ，点 $A$ 在抛物线的对称轴上并且纵坐标为 $- \frac{3}{2}$ ，抛物线交 $y$ 轴于点 $N$ ．如图1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$ 为抛物线对称轴上的一点， $ΔANP$ 为等腰三角形，求点 $P$ 的坐标；

（3）如图2，点 $B$ 为直线 $y = - 2$ 上的一个动点，过点 $B$ 的直线 $l$ 与 $AB$ 垂直

①求证：直线 $l$ 与抛物线总有两个交点；

②设直线 $l$ 与抛物线交于点 $C$ 、 $D$ （点 $C$ 在左侧），分别过点 $C$ 、 $D$ 作直线 $y = - 2$ 的垂线，垂足分别为 $E$ 、 $F$ ．求 $EF$ 的长．

如图1， $D$ 是 $⊙ O$ 的直径 $BC$ 上的一点，过 $D$ 作 $DE ⊥ BC$ 交 $⊙ O$ 于 $E$ 、 $N$ ， $F$ 是 $⊙ O$ 上的一点，过 $F$ 的直线分别与 $CB$ 、 $DE$ 的延长线相交于 $A$ 、 $P$ ，连接 $CF$ 交 $PD$ 于 $M$ ， $∠ C = \frac{1}{2} ∠ P$ ．

（1）求证： $PA$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $∠ A = 30 °$ ， $⊙ O$ 的半径为4， $DM = 1$ ，求 $PM$ 的长；

（3）如图2，在（2）的条件下，连接 $BF$ 、 $BM$ ；在线段 $DN$ 上有一点 $H$ ，并且以 $H$ 、 $D$ 、 $C$ 为顶点的三角形与 $ΔBFM$ 相似，求 $DH$ 的长度．

如图，矩形 $ABCD$ 在平面直角坐标系的第一象限内， $BC$ 与 $x$ 轴平行， $AB = 1$ ，点 $C$ 的坐标为 $(6, 2)$ ， $E$ 是 $AD$ 的中点；反比例函数 $y_{1} = \frac{k}{x} (x > 0)$ 图象经过点 $C$ 和点 $E$ ，过点 $B$ 的直线 $y_{2} = ax + b$ 与反比例函数图象交于点 $F$ ，点 $F$ 的纵坐标为4．

（1）求反比例函数的解析式和点 $E$ 的坐标；

（2）求直线 $BF$ 的解析式；

（3）直接写出 $y_{1} > y_{2}$ 时，自变量 $x$ 的取值范围．

如图，雨后初晴，李老师在公园散步，看见积水水面上出现梯步上方树的倒影，于是想利用倒影与物体的对称性测量这颗树的高度，他的方法是：测得树顶的仰角 $∠ 1$ 、测量点 $A$ 到水面平台的垂直高度 $AB$ 、看到倒影顶端的视线与水面交点 $C$ 到 $AB$ 的水半距离 $BC$ ．再测得梯步斜坡的坡角 $∠ 2$ 和长度 $EF$ ，根据以下数据进行计算，

如图， $AB = 2$ 米， $BC = 1$ 米， $EF = 4 \sqrt{6}$ 米， $∠ 1 = 60 °$ ， $∠ 2 = 45 °$ ．已知线段 $ON$ 和线段 $OD$ 关于直线 $OB$ 对称．（以下结果保留根号）

（1）求梯步的高度 $MO$ ；

（2）求树高 $MN$ ．