如图1，D是⊙O的直径BC上的一点，过D作DE⊥BC交⊙O于-优题课

题文

如图1， $D$ 是 $⊙ O$ 的直径 $BC$ 上的一点，过 $D$ 作 $DE ⊥ BC$ 交 $⊙ O$ 于 $E$ 、 $N$ ， $F$ 是 $⊙ O$ 上的一点，过 $F$ 的直线分别与 $CB$ 、 $DE$ 的延长线相交于 $A$ 、 $P$ ，连接 $CF$ 交 $PD$ 于 $M$ ， $∠ C = \frac{1}{2} ∠ P$ ．

（1）求证： $PA$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $∠ A = 30 °$ ， $⊙ O$ 的半径为4， $DM = 1$ ，求 $PM$ 的长；

（3）如图2，在（2）的条件下，连接 $BF$ 、 $BM$ ；在线段 $DN$ 上有一点 $H$ ，并且以 $H$ 、 $D$ 、 $C$ 为顶点的三角形与 $ΔBFM$ 相似，求 $DH$ 的长度．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：解直角三角形相似三角形的判定与性质切线的判定圆的综合题

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在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为

（1）画出，并求出所在直线的解析式。
（2）画出绕点顺时针旋转后得到的，并求出在上述旋转过程中扫过的面积。

如图，是平行四边形的对角线上的点，，请你猜想：线段与线段有怎样的关系？并对你的猜想加以证明。

我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例。如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律。例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数;第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等。

（1）根据上面的规律，写出的展开式。
（2）利用上面的规律计算：

在平面直角坐标系XOY中，直线l₁过点A（1，0）且与y轴平行，直线l₂过点B（0，2）且与x轴平行，直线l₁与直线l₂相交于点P．点E为直线l₂上一点，反比例函数（k＞0）的图象过点E与直线l₁相交于点F．
（1）若点E与点P重合，求k的值；
（2）连接OE、OF、EF．若k＞2，且△OEF的面积为△PEF的面积的2倍，求E点的坐标；
（3）是否存在点E及y轴上的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等？若存在，求E点坐标；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系XOY中，一次函数的图象是直线l₁，l₁与x轴、y轴分别相交于A、B两点．直线l₂过点C（a，0）且与直线l₁垂直，其中a＞0．点P、Q同时从A点出发，其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位；点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位．
（1）写出A点的坐标和AB的长；
（2）当点P、Q运动了多少秒时，以点Q为圆心，PQ为半径的⊙Q与直线l₂、y轴都相切，求此时a的值．

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