．如图10，在直角△ABC中，∠C90，∠CAB的平分线AD-优题课

如图，已知 $∠ AOB = 60 °$ ，在 $∠ AOB$ 的平分线 $OM$ 上有一点 $C$ ，将一个 $120 °$ 角的顶点与点 $C$ 重合，它的两条边分别与直线 $OA$ 、 $OB$ 相交于点 $D$ 、 $E$ ．

（1）当 $∠ DCE$ 绕点 $C$ 旋转到 $CD$ 与 $OA$ 垂直时（如图 $1)$ ，请猜想 $OE + OD$ 与 $OC$ 的数量关系，并说明理由；

（2）当 $∠ DCE$ 绕点 $C$ 旋转到 $CD$ 与 $OA$ 不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；

（3）当 $∠ DCE$ 绕点 $C$ 旋转到 $CD$ 与 $OA$ 的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段 $OD$ 、 $OE$ 与 $OC$ 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

阅读以下材料：

对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔 $(J$ ． $Nplcr$ ， $1550 - 1617$ 年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉 $(Evlcr$ ， $1707 - 1783$ 年）才发现指数与对数之间的联系．

对数的定义：一般地，若 $a^{x} = N (a > 0, a \neq 1)$ ，那么 $x$ 叫做以 $a$ 为底 $N$ 的对数，记作： $x = \log_{a} N$ ．比如指数式 $2^{4} = 16$ 可以转化为 $4 = \log_{2} 16$ ，对数式 $2 = \log_{5} 25$ 可以转化为 $5^{2} = 25$ ．

我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： $\log_{a} (M \cdot N) = \log_{a} M + \log_{a} N (a > 0$ ， $a \neq 1$ ， $M > 0$ ， $N > 0)$ ；理由如下：

设 $\log_{a} M = m$ ， $\log_{a} N = n$ ，则 $M = a^{m}$ ， $N = a^{n}$

$∴ M \cdot N = a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ ，由对数的定义得 $m + n = \log_{a} (M \cdot N)$

又 $∵ m + n = \log_{a} M + \log_{a} N$

$∴ \log_{a} (M \cdot N) = \log_{a} M + \log_{a} N$

解决以下问题：

（1）将指数 $4^{3} = 64$ 转化为对数式　　；

（2）证明 $\log_{a} \frac{M}{N} = \log_{a} M - \log_{a} N (a > 0$ ， $a \neq 1$ ， $M > 0$ ， $N > 0)$

（3）拓展运用：计算 $\log_{3} 2 + \log_{3} 6 - \log_{3} 4 =$ 　　．

如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ．

（1）作出经过点 $B$ ，圆心 $O$ 在斜边 $AB$ 上且与边 $AC$ 相切于点 $E$ 的 $⊙ O$ （要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）

（2）设（1）中所作的 $⊙ O$ 与边 $AB$ 交于异于点 $B$ 的另外一点 $D$ ，若 $⊙ O$ 的直径为5， $BC = 4$ ；求 $DE$ 的长．（如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（2）问）

如图，在 $ΔABC$ 中， $BC = 12$ ， $\tan A = \frac{3}{4}$ ， $∠ B = 30 °$ ；求 $AC$ 和 $AB$ 的长．

某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）在这次调查中，一共调查了　　名学生；

（2）补全条形统计图；

（3）若该校共有1500名学生，估计爱好运动的学生有　　人；

（4）在全校同学中随机选取一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率是　　．