(10分)问题提出我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两-优题课

(10分)

问题提出
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定他们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差M－N，若M－N＞0，则M＞N；若M－N＝0，则M＝N；若M－N＜0，则M＜N．
问题解决
如图1，把边长为a＋b(a≠b)的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小．

解：由图可知：M＝a²＋b²，N＝2ab．
∴M－N＝a²＋b²－2ab＝(a－b)²．
∵a≠b，∴(a－b)²＞0．
∴M－N＞0．
∴M＞N．
类别应用
(1)已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为元/千克和元/千克(a、b是正数，且a≠b)，试比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低．
(2)试比较图2和图3中两个矩形周长M₁、N₁的大小(b＞c)．
联系拓广
小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，这个箱子的尺寸如图4所示(其中b＞a＞c＞0)，售货员分别可按图5、图6、图7三种方法进行捆绑，吻哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：一元二次方程的最值

解不等式组 $\{\begin{matrix} x + 4 ⩾ 3, ① \\ 6 x ⩽ 5 x + 3 \cdot ② \end{matrix}$ 请结合题意填空，完成本题的解答．

（Ⅰ）解不等式①，得　　；

（Ⅱ）解不等式②，得　　；

（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（Ⅳ）原不等式组的解集为　　．

如图，抛物线 $y = (x + 1) (x - a)$ （其中 $a > 1)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ ．

（1）写出 $∠ OCA$ 的度数和线段 $AB$ 的长（用 $a$ 表示）；

（2）若点 $D$ 为 $ΔABC$ 的外心，且 $ΔBCD$ 与 $ΔACO$ 的周长之比为 $\sqrt{10} : 4$ ，求此抛物线的解析式；

（3）在（2）的前提下，试探究抛物线 $y = (x + 1) (x - a)$ 上是否存在一点 $P$ ，使得 $∠ CAP = ∠ DBA$ ？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，点 $D$ 在以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 上，过 $D$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $AB$ 延长线于点 $C$ ， $AE ⊥ CD$ 于点 $E$ ，交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，连接 $AD$ ， $FD$ ．

（1）求证： $∠ DAE = ∠ DAC$ ；

（2）求证： $DF \cdot AC = AD \cdot DC$ ；

（3）若 $\sin ∠ C = \frac{1}{4}$ ， $AD = 4 \sqrt{10}$ ，求 $EF$ 的长．

函数图象是研究函数的重要工具。探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程。请结合已有的学习经验，画出函数 $y = - \frac{8 x}{x^{2} + 4}$ 的图象，并探究其性质．

列表如下：

$x$	$\dots$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	0	1	2	3	4	$\dots$
$y$	$\dots$	$\frac{8}{5}$	$\frac{24}{13}$	$a$	$\frac{8}{5}$	0	$b$	$- 2$	$- \frac{24}{13}$	$- \frac{8}{5}$	$\dots$

（1）写出表中 $a$ 、 $b$ 的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；

（2）观察函数 $y = - \frac{8 x}{x^{2} + 4}$ 的图象，判断下列关于该函数性质的命题：

①当 $- 2 ⩽ x ⩽ 2$ 时，函数图象关于直线 $y = x$ 对称；

② $x = 2$ 时，函数有最小值，最小值为 $- 2$ ；

③ $- 1 < x < 1$ 时，函数 $y$ 的值随 $x$ 的增大而减小．

其中正确的是　　．（请写出所有正确命题的番号）

（3）结合图象，请写出不等式 $\frac{8 x}{x^{2} + 4} > x$ 的解集　　．

为了弘扬爱国主义精神，某校组织了"共和国成就"知识竞赛，将成绩分为： $A$ （优秀）、 $B$ （良好）、 $C$ （合格）、 $D$ （不合格）四个等级．小李随机调查了部分同学的竞赛成绩，绘制了如图统计图．

（1）本次抽样调查的样本容量是　　，请补全条形统计图；

（2）已知调查对象中只有两位女生竞赛成绩不合格，小李准备随机回访两位竞赛成绩不合格的同学，请用树状图或列表法求出恰好回访到一男一女的概率；

（3）该校共有2000名学生，请你估计该校竞赛成绩"优秀"的学生人数．