(10分)问题提出我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两-优题课

(10分)

问题提出
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定他们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差M－N，若M－N＞0，则M＞N；若M－N＝0，则M＝N；若M－N＜0，则M＜N．
问题解决
如图1，把边长为a＋b(a≠b)的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小．

解：由图可知：M＝a²＋b²，N＝2ab．
∴M－N＝a²＋b²－2ab＝(a－b)²．
∵a≠b，∴(a－b)²＞0．
∴M－N＞0．
∴M＞N．
类别应用
(1)已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为元/千克和元/千克(a、b是正数，且a≠b)，试比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低．
(2)试比较图2和图3中两个矩形周长M₁、N₁的大小(b＞c)．
联系拓广
小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，这个箱子的尺寸如图4所示(其中b＞a＞c＞0)，售货员分别可按图5、图6、图7三种方法进行捆绑，吻哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：一元二次方程的最值

如图，在 $⊙ O$ 中， $AC$ 为 $⊙ O$ 的直径， $AB$ 为 $⊙ O$ 的弦，点 $E$ 是 $\hat{AC}$ 的中点，过点 $E$ 作 $AB$ 的垂线，交 $AB$ 于点 $M$ ，交 $⊙ O$ 于点 $N$ ，分别连接 $EB$ ， $CN$ ．

（1） $EM$ 与 $BE$ 的数量关系是　　；

（2）求证： $\hat{EB} = \hat{CN}$ ；

（3）若 $AM = \sqrt{3}$ ， $MB = 1$ ，求阴影部分图形的面积．

为庆祝"中国共产党的百年华诞"，某校请广告公司为其制作"童心向党"文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中制作宣传册的数量是展板数量的5倍，广告公司制作每件产品所需时间和利润如表：

产品	展板	宣传册	横幅
制作一件产品所需时间（小时）	1	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{2}$
制作一件产品所获利润（元 $)$	20	3	10

（1）若制作三种产品共计需要25小时，所获利润为450元，求制作展板、宣传册和横幅的数量；

（2）若广告公司所获利润为700元，且三种产品均有制作，求制作三种产品总量的最小值．

随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量广场 $B$ ， $C$ 两点之间的距离．如图所示，小星站在广场的 $B$ 处遥控无人机，无人机在 $A$ 处距离地面的飞行高度是 $41.6 m$ ，此时从无人机测得广场 $C$ 处的俯角为 $63 °$ ，他抬头仰视无人机时，仰角为 $α$ ，若小星的身高 $BE = 1.6 m$ ， $EA = 50 m$ （点 $A$ ， $E$ ， $B$ ， $C$ 在同一平面内）．

（1）求仰角 $α$ 的正弦值；

（2）求 $B$ ， $C$ 两点之间的距离（结果精确到 $1 m)$ ．

$(\sin 63 ° \approx 0.89$ ， $\cos 63 ° \approx 0.45$ ， $\tan 63 ° \approx 1.96$ ， $\sin 27 ° \approx 0.45$ ， $\cos 27 ° \approx 0.89$ ， $\tan 27 ° \approx 0.51)$

如图，一次函数 $y = kx - 2 k (k \neq 0)$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{m - 1}{x} (m - 1 \neq 0)$ 的图象交于点 $C$ ，与 $x$ 轴交于点 $A$ ，过点 $C$ 作 $CB ⊥ y$ 轴，垂足为 $B$ ，若 $S_{ΔABC} = 3$ ．

（1）求点 $A$ 的坐标及 $m$ 的值；

（2）若 $AB = 2 \sqrt{2}$ ，求一次函数的表达式．

如图，在矩形 $ABCD$ 中，点 $M$ 在 $DC$ 上， $AM = AB$ ，且 $BN ⊥ AM$ ，垂足为 $N$ ．

（1）求证： $ΔABN ≅ ΔMAD$ ；

（2）若 $AD = 2$ ， $AN = 4$ ，求四边形 $BCMN$ 的面积．