如图，椭圆与一等轴双曲线相交，是其中一个交点，并且双曲线的顶-优题课

题文

如图，椭圆与一等轴双曲线相交，是其中一个交点，并且双曲线的顶点是该椭圆的焦点，双曲线的焦点是椭圆的顶点，的周长为.设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明；
（Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

科目数学题型解答题难度中等

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如图，在正三棱锥 $P - ABC$ 中， $PA = PB = PC = 2$ ， $AB = BC = AC = \sqrt{3}$ ．

（1）若 $PB$ 的中点为 $M$ ， $BC$ 的中点为 $N$ ，求 $AC$ 与 $MN$ 的夹角；

（2）求 $P - ABC$ 的体积．

在 $△ ABC$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ．已知 $b + c = 2 a$ ， $3 c \sin B = 4 a \sin C$ ．

（Ⅰ）求 $\cos B$ 的值；

（Ⅱ）求 $\sin (2 B + \frac{π}{6})$ 的值．

已知函数 $f (x) = \frac{1}{4} x^{3} - x^{2} + x$ ．

（Ⅰ）求曲线 $y = f (x)$ 的斜率为1的切线方程；

（Ⅱ）当 $x \in [- 2, 4]$ 时，求证： $x - 6 \leq f (x) \leq x$ ；

（Ⅲ）设 $F (x) = | f (x) - (x + a) | (a \in R)$ ，记 $F (x)$ 在区间 $[- 2, 4]$ 上的最大值为 $M (a)$ ，当 $M (a)$ 最小时，求 $a$ 的值．

已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的右焦点为 $(1, 0)$ ，且经过点 $A (0, 1)$ ．

（Ⅰ）求椭圆 C的方程；

（Ⅱ）设 O为原点，直线 $l : y = kx + t (t \neq \pm 1)$ 与椭圆 C交于两个不同点 P， Q，直线 $AP$ 与 x轴交于点 M，直线 $AQ$ 与 x轴交于点 N，若 $| OM | \cdot | ON | = 2$ ，求证：直线 l经过定点．

如图，在四棱锥 $P - ABCD$ 中， $PA ⊥ 平面 A B C D$ ，底部 ABCD为菱形， E为 CD的中点．

（Ⅰ）求证： $BD ⊥ 平面 P A C$ ；

（Ⅱ）若 $∠ ABC = 60 °$ ，求证： $平面 PAB ⊥ 平面 PAE$ ；

（Ⅲ）棱 PB上是否存在点 F，使得 $CF ∥ 平面 PAE$ ？说明理由．

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