（本小题满分8分）如图，已知在半圆中，，，求的长度．-优题课

黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需60元；购进2件甲商品和3件乙商品，需65元．

（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？

（2）设甲商品的销售单价为 $x$ （单位：元 $/$ 件），在销售过程中发现：当 $11 ⩽ x ⩽ 19$ 时，甲商品的日销售量 $y$ （单位：件）与销售单价 $x$ 之间存在一次函数关系， $x$ 、 $y$ 之间的部分数值对应关系如表：

销售单价 $x$ （元 $/$ 件）	11	19
日销售量 $y$ （件 $)$	18	2

请写出当 $11 ⩽ x ⩽ 19$ 时， $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式．

（3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为 $w$ 元，当甲商品的销售单价 $x$ （元 $/$ 件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 是 $⊙ O$ 上一点（与点 $A$ ， $B$ 不重合），过点 $C$ 作直线 $PQ$ ，使得 $∠ ACQ = ∠ ABC$ ．

（1）求证：直线 $PQ$ 是 $⊙ O$ 的切线．

（2）过点 $A$ 作 $AD ⊥ PQ$ 于点 $D$ ，交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，若 $⊙ O$ 的半径为2， $\sin ∠ DAC = \frac{1}{2}$ ，求图中阴影部分的面积．

某校对九年级学生进行一次综合文科中考模拟测试，成绩 $x$ 分 $(x$ 为整数）评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级（优秀、良好、合格、不合格分别用 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 表示）， $A$ 等级： $90 ⩽ x ⩽ 100$ ， $B$ 等级： $80 ⩽ x < 90$ ， $C$ 等级： $60 ⩽ x < 80$ ， $D$ 等级： $0 ⩽ x < 60$ ．该校随机抽取了一部分学生的成绩进行调查，并绘制成如图不完整的统计图表．

等级	频数（人数）	频率
$A$	$a$	$20 %$
$B$	16	$40 %$
$C$	$b$	$m$
$D$	4	$10 %$

请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：

（1）上表中的 $a =$ 　　， $b =$ 　　， $m =$ 　　．

（2）本次调查共抽取了多少名学生？请补全条形图．

（3）若从 $D$ 等级的4名学生中抽取两名学生进行问卷调查，请用画树状图或列表的方法求抽取的两名学生恰好是一男一女的概率．

（1）计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 2} - | \sqrt{2} - 3 | + 2 \tan 45 ° - {(2020 - π)}^{0}$ ；

（2）先化简，再求值： $(\frac{3}{a + 1} - a + 1) \div \frac{a^{2} - 4}{a^{2} + 2 a + 1}$ ，其中 $a$ 从 $- 1$ ，2，3中取一个你认为合适的数代入求值．

如图，四边形 $ABCD$ 是正方形，点 $O$ 为对角线 $AC$ 的中点．

（1）问题解决：如图①，连接 $BO$ ，分别取 $CB$ ， $BO$ 的中点 $P$ ， $Q$ ，连接 $PQ$ ，则 $PQ$ 与 $BO$ 的数量关系是　　，位置关系是　　；

（2）问题探究：如图②，△ $A O^{'} E$ 是将图①中的 $ΔAOB$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转 $45 °$ 得到的三角形，连接 $CE$ ，点 $P$ ， $Q$ 分别为 $CE$ ， $B O^{'}$ 的中点，连接 $PQ$ ， $PB$ ．判断 $ΔPQB$ 的形状，并证明你的结论；

（3）拓展延伸：如图③，△ $A O^{'} E$ 是将图①中的 $ΔAOB$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转 $45 °$ 得到的三角形，连接 $B O^{'}$ ，点 $P$ ， $Q$ 分别为 $CE$ ， $B O^{'}$ 的中点，连接 $PQ$ ， $PB$ ．若正方形 $ABCD$ 的边长为1，求 $ΔPQB$ 的面积．