选修4—5：不等式选讲设函数．（1）解不等式；（2）求函数的-优题课

题文

选修4—5：不等式选讲
设函数．
（1）解不等式；
（2）求函数的最小值．

科目数学题型解答题难度中等

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在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ .已知， $A = \frac{π}{4}, b \sin (\frac{π}{4} + C) - c \sin (\frac{π}{4} + B) = a$ .
（1）求证： $B - C = \frac{π}{2}$ ;

（2）若 $a = \sqrt{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = - \frac{1}{2} n^{2} + k n (k \in N^{*})$ ,且 $S_{n}$ 的最大值为8.
（1）确定常数 $k$ ，求 $a_{n}$ ；
（2）求数列 ${\frac{9 - 2 a_{n_{}}}{2^{n}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

已知函数 $f (x) = e^{a x} - x$ ，其中 $a \neq 0$

（1）若对一切 $x \in R, f (x) ⩾ 1$ 恒成立，求 $a$ 的取值集合.
（2）在函数 $f (x)$ 的图像上取定两点 $A (x_{1}, f (x_{1})), B (x_{2}, f (x_{2})) (x_{1} < x_{2})$ ，记直线 $A B$ 的斜率为 $K$ ，问：是否存在 $x_{0} \in (x_{1}, x_{2})$ ，使 $f ` (x_{0}) > k$ 成立？若存在，求 $x_{0}$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.

在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的点均在 $C_{2} : {(x - 5)}^{2} + y^{2} = 9$ 外，且对 $C_{1}$ 上任意一点 $M, M$ 到直线 $x = - 2$ 的距离等于该点与圆 $C_{2}$ 上点的距离的最小值.
（Ⅰ）求曲线 $C_{1}$ 的方程；
（Ⅱ）设 $P (x_{0}, y_{0}) (y_{0} \neq \pm 3)$ 为圆 $C_{2}$ 外一点，过 $P$ 作圆 $C_{2}$ 的两条切线，分别与曲线 $C_{1}$ 相交于点 $A, B$ 和 $C, D$ .

证明：当 $P$ 在直线 $x = - 4$ 上运动时，四点 $A, B, C, D$ 的纵坐标之积为定值.

某企业接到生产3000台某产品的 $A, B, C$ 三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为２,２,１（单位：件）.已知每个工人每天可生产 $A$ 部件６件，或 $B$ 部件３件，或 $C$ 部件２件.该企业计划安排２００名工人分成三组分别生产这三种部件，生产 $B$ 部件的人数与生产 $A$ 部件的人数成正比，比例系数为 $k$ （ $k$ 为正整数）.
（１）设生产 $A$ 部件的人数为 $x$ ，分别写出完成 $A, B, C$ 三种部件生产需要的时间；
（２）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数 $k$ 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.

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