已知梯形中，∥，且，，。⑴如图，为上的一点，满足，求的长；⑵-优题课

湘潭政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店 $A$ 、 $B$ 两种湘莲礼盒一个月的销售情况， $A$ 种湘莲礼盒进价72元 $/$ 盒，售价120元 $/$ 盒， $B$ 种湘莲礼盒进价40元 $/$ 盒，售价80元 $/$ 盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元．

（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？

（2）小亮调査发现， $A$ 种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒．若 $B$ 种湘莲礼盒的售价和销量不变，当 $A$ 种湘莲礼盒降价多少元 $/$ 盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？

如图，在平面直角坐标系中， $⊙ M$ 与 $x$ 轴的正半轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴的正半轴相切于点 $C$ ，连接 $MA$ 、 $MC$ ，已知 $⊙ M$ 半径为2， $∠ AMC = 60 °$ ，双曲线 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 经过圆心 $M$ ．

（1）求双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 的解析式；

（2）求直线 $BC$ 的解析式．

2018年高一新生开始，湖南全面启动高考综合改革，实行“ $3 + 1 + 2$ ”的高考选考方案．“3”是指语文、数学、外语三科必考；“1”是指从物理、历史两科中任选一科参加选考，“2”是指从政治、化学、地理、生物四科中任选两科参加选考

（1）“ $1 + 2$ ”的选考方案共有多少种？请直接写出所有可能的选法；（选法与顺序无关，例如：“物、政、化”与“物、化、政”属于同一种选法）

（2）高一学生小明和小杰将参加新高考，他们酷爱历史和生物，两人约定必选历史和生物．他们还需要从政治、化学、地理三科中选一科参考，若这三科被选中的机会均等，请用列表或画树状图的方法，求出他们恰好都选中政治的概率．

如图，将 $ΔABC$ 沿着 $AC$ 边翻折，得到 $ΔADC$ ，且 $AB / / CD$ ．

（1）判断四边形 $ABCD$ 的形状，并说明理由；

（2）若 $AC = 16$ ， $BC = 10$ ，求四边形 $ABCD$ 的面积．

每年5月份是心理健康宣传月，某中学开展以“关心他人，关爱自己”为主题的心理健康系列活动．为了解师生的心理健康状况，对全体2000名师生进行了心理测评，随机抽取20名师生的测评分数进行了以下数据的整理与分析：

①数据收集：抽取的20名师生测评分数如下

85，82，94，72，78，89，96，98，84，65，

73，54，83，76，70，85，83，63，92，90．

②数据整理：将收集的数据进行分组并评价等级：

分数 $x$	$90 ⩽ x < 100$	$80 ⩽ x < 90$	$70 ⩽ x < 80$	$60 ⩽ x < 70$	$x < 60$
人数	5	$a$	5	2	1
等级	$A$	$B$	$C$	$D$	$E$

③数据分析：绘制成不完整的扇形统计图：

④依据统计信息回答问题

（1）统计表中的 $a =$ 　　．

（2）心理测评等级 $C$ 等的师生人数所占扇形的圆心角度数为　　．

（3）学校决定对 $E$ 等的师生进行团队心理辅导，请你根据数据分析结果，估计有多少师生需要参加团队心理辅导？