数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：.-优题课

如图①，二次函数 $y = - x^{2} + bx + 4$ 的图象与直线 $l$ 交于 $A (- 1, 2)$ 、 $B (3, n)$ 两点．点 $P$ 是 $x$ 轴上的一个动点，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线交直线1于点 $M$ ，交该二次函数的图象于点 $N$ ，设点 $P$ 的横坐标为 $m$ ．

（1） $b =$ 　　， $n =$ 　　；

（2）若点 $N$ 在点 $M$ 的上方，且 $MN = 3$ ，求 $m$ 的值；

（3）将直线 $AB$ 向上平移4个单位长度，分别与 $x$ 轴、 $y$ 轴交于点 $C$ 、 $D$ （如图② $)$ ．

①记 $ΔNBC$ 的面积为 $S_{1}$ ， $ΔNAC$ 的面积为 $S_{2}$ ，是否存在 $m$ ，使得点 $N$ 在直线 $AC$ 的上方，且满足 $S_{1} - S_{2} = 6$ ？若存在，求出 $m$ 及相应的 $S_{1}$ ， $S_{2}$ 的值；若不存在，请说明理由．

②当 $m > - 1$ 时，将线段 $MA$ 绕点 $M$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到线段 $MF$ ，连接 $FB$ 、 $FC$ 、 $OA$ ．若 $∠ FBA + ∠ AOD - ∠ BFC = 45 °$ ，直接写出直线 $OF$ 与该二次函数图象交点的横坐标．

$[$ 初步尝试 $]$

（1）如图①，在三角形纸片 $ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ，将 $ΔABC$ 折叠，使点 $B$ 与点 $C$ 重合，折痕为 $MN$ ，则 $AM$ 与 $BM$ 的数量关系为　　；

$[$ 思考说理 $]$

（2）如图②，在三角形纸片 $ABC$ 中， $AC = BC = 6$ ， $AB = 10$ ，将 $ΔABC$ 折叠，使点 $B$ 与点 $C$ 重合，折痕为 $MN$ ，求 $\frac{AM}{BM}$ 的值；

$[$ 拓展延伸 $]$

（3）如图③，在三角形纸片 $ABC$ 中， $AB = 9$ ， $BC = 6$ ， $∠ ACB = 2 ∠ A$ ，将 $ΔABC$ 沿过顶点 $C$ 的直线折叠，使点 $B$ 落在边 $AC$ 上的点 $B'$ 处，折痕为 $CM$ ．

①求线段 $AC$ 的长；

②若点 $O$ 是边 $AC$ 的中点，点 $P$ 为线段 $OB'$ 上的一个动点，将 $ΔAPM$ 沿 $PM$ 折叠得到△ $A' PM$ ，点 $A$ 的对应点为点 $A'$ ， $A' M$ 与 $CP$ 交于点 $F$ ，求 $\frac{PF}{MF}$ 的取值范围．

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的弦， $C$ 是 $⊙ O$ 外一点， $OC ⊥ OA$ ， $CO$ 交 $AB$ 于点 $P$ ，交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，且 $CP = CB$ ．

（1）判断直线 $BC$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若 $∠ A = 30 °$ ， $OP = 1$ ，求图中阴影部分的面积．

甲、乙两地的路程为290千米，一辆汽车早上 $8 : 00$ 从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后．按原速继续前进，当离甲地路程为240千米时接到通知，要求中午 $12 : 00$ 准时到达乙地．设汽车出发 $x$ 小时后离甲地的路程为 $y$ 千米，图中折线 $OCDE$ 表示接到通知前 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系．

（1）根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为　　千米 $/$ 小时；

（2）求线段 $DE$ 所表示的 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式；

（3）接到通知后，汽车仍按原速行驶能否准时到达？请说明理由．

如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ，测得 $∠ CAB = 30 °$ ， $∠ ABC = 45 °$ ， $AC = 8$ 千米，求 $A$ 、 $B$ 两点间的距离．（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.4$ ， $\sqrt{3} \approx 1.7$ ，结果精确到1千米）．