规定一种新的运算：A★BA×B−A−B1，如3★43×4−3-优题课

如图，在四边形 $ABCD$ 中， $AD = BC$ ， $∠ B = ∠ D$ ， $AD$ 不平行于 $BC$ ，过点 $C$ 作 $CE / / AD$ 交 $ΔABC$ 的外接圆 $O$ 于点 $E$ ，连接 $AE$ ．

（1）求证：四边形 $AECD$ 为平行四边形；

（2）连接 $CO$ ，求证： $CO$ 平分 $∠ BCE$ ．

[阅读理解]

我们知道， $1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2}$ ，那么 $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + n^{2}$ 结果等于多少呢？

在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即 $1^{2}$ ，第2行两个圆圈中数的和为 $2 + 2$ ，即 $2^{2}$ ， $\dots$ ；第 $n$ 行 $n$ 个圆圈中数的和为 $\underset{n 个 n}{\underset{︸}{n + n + \dots + n}}$ ，即 $n^{2}$ ，这样，该三角形数阵中共有 $\frac{n (n + 1)}{2}$ 个圆圈，所有圆圈中数的和为 $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + n^{2}$ ．

[规律探究]

将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第 $n - 1$ 行的第一个圆圈中的数分别为 $n - 1$ ，2， $n)$ ，发现每个位置上三个圆圈中数的和均为　　，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为： $3 (1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + n^{2}) =$ 　　，因此， $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + n^{2} =$ 　　．

[解决问题]

根据以上发现，计算： $\frac{1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + 2017^{2}}{1 + 2 + 3 + \dots + 2017}$ 的结果为　　．

如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点 $ΔABC$ 和 $ΔDEF$ （顶点为网格线的交点），以及过格点的直线 $l$ ．

（1）将 $ΔABC$ 向右平移两个单位长度，再向下平移两个单位长度，画出平移后的三角形．

（2）画出 $ΔDEF$ 关于直线 $l$ 对称的三角形．

（3）填空： $∠ C + ∠ E =$ 　　．

如图，游客在点 $A$ 处坐缆车出发，沿 $A - B - D$ 的路线可至山顶 $D$ 处，假设 $AB$ 和 $BD$ 都是直线段，且 $AB = BD = 600 m$ ， $α = 75 °$ ， $β = 45 °$ ，求 $DE$ 的长．

（参考数据： $\sin 75 ° \approx 0.97$ ， $\cos 75 ° \approx 0.26$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41)$

《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：

今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？

译文为：

现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？

请解答上述问题．