某工厂生产一种机器的固定成本为5000元，且每生产100部，需要增加投入2500元，对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年500部。已知年销售收入为
，其中x是产品售出的数量
。
（1
）若x为年产量，y 表示年利润，求
的表达式。（年利
润=年销售收入—投资成本（包括固定成本））
（2）当年产量为何值时，工厂的年利润最大，其最大值是多少？
已知
是过点
的两条互相垂直的直线，且与双曲线
各两个交点，分别为
和
．
（1）求
的斜率
的取值范围；（2）若
，求的方程．
已知抛物线
的焦点为
，以
为圆心，
长为半径，在
轴上方的半圆交抛物线于不同的两点
，
，
是
的中点．
⑴求
的值；
⑵是否存在这样的
值，使
，
，
成等差数列？
已知直线
过坐标原点，抛物线
的顶点在原点，焦点在
轴正半轴上，若点
和点
关于的对称点都在上，求直线和抛物线的方程．
如图，
是抛物线上
上的一点，动弦
分别交
轴于
两点，且
．
（１）若为定点，证明：直线
的斜率为定值；
（２）若为动点，且
，求
的重心
的轨迹方程．
设过点
，倾斜角为
的直线
与抛物线
相交于
两点，抛物线的顶点在原点，以
轴为对称轴，若
成等比数列，求抛物线的方程．