19（本小题满分13分）随机抽取某中学甲乙两班各名同学,测量-优题课

19（本小题满分13分）
随机抽取某中学甲乙两班各名同学,测量他们的身高(单位:),获得身高数据的茎叶图如下图：
(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；
(2)计算甲班的样本方差；
(3)现从乙班这名同学中随机抽取两名身高不低于的同学,求身高为的同学被抽中的概率。

科目数学题型解答题难度中等

知识点：误差估计

等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1} = 1 + \sqrt{2}, S_{3} = 9 + 3 \sqrt{2}$

（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项 $a_{n}$ 与前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；
（Ⅱ）设 $b_{n} = \frac{S_{n}}{n} (n \in N^{*})$ ，求证：数列 ${b_{n}}$ 中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

如图，已知点 $F (1, 0)$ ，直线 $l : x = - 1$ ， $P$ 为平面上的动点，过 $P$ 作直线 $l$ 的垂线，垂足为点 $Q$ ，且 $\overset{⇀}{Q P} \cdot \overset{⇀}{Q F} = \overset{⇀}{F P} \cdot \overset{⇀}{F Q}$ ．

（Ⅰ）求动点 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程；
（Ⅱ）过点 $F$ 的直线交轨迹 $C$ 于 $A, B$ 两点，交直线 $l$ 于点 $M$ ，已知 $\overset{⇀}{M A} = λ_{1} \overset{⇀}{A F}$ ， $\overset{⇀}{M B} = λ_{2} \overset{⇀}{A F}$ ,求 $λ_{1} + λ_{2}$ 的值；

某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交 $a$ 元（ $3 \leq a \leq 5$ ）的管理费，预计当每件产品的售价为 $x$ 元（ $9 \leq x \leq 11$ ）时，一年的销售量为 $(12 - x)^{2}$ 万件．
（Ⅰ）求分公司一年的利润 $L$ （万元）与每件产品的售价 $x$ 的函数关系式；
（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润 $L$ 最大，并求出 $L$ 的最大值 $Q (a)$ ．

如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长都为2， $D$ 为 $C C_{1}$ 中点．

（Ⅰ）求证： $A B_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B D$ ；
（Ⅱ）求二面角 $A - A_{1} D - B$ 的大小；
（Ⅲ）求点 $C$ 到平面 $A_{1} B D$ 的距离．

在 $∆ A B C$ 中， $\tan A = \frac{1}{4}, \tan B = \frac{3}{5}$ ．
（Ⅰ）求角 $C$ 的大小；
（Ⅱ）若 $∆ A B C$ 最大边的边长为 $\sqrt{17}$ ，求最小边的边长．

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