（本题14分）如图，等腰梯形ABCD中，AB4，CD9，∠C-优题课

（本题14分）如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.
（1）求AD的长；
（2）设CP=x， △PDQ的面积为y,求y关于x的函数表达式，并求自变量的取值范围；
（3）探究：在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形？若存在，请找出点M，并求出BM的长；不存在，请说明理由.

科目数学题型解答题难度较难

知识点：相似多边形的性质

解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．

$\frac{x - 2}{5} - \frac{x + 4}{2} > - 3$

两条抛物线 $C_{1} : y_{1} = 3 x^{2} - 6 x - 1$ 与 $C_{2} : y_{2} = x^{2} - mx + n$ 的顶点相同．

（1）求抛物线 $C_{2}$ 的解析式；

（2）点 $A$ 是抛物线 $C_{2}$ 在第四象限内图象上的一动点，过点 $A$ 作 $AP ⊥ x$ 轴， $P$ 为垂足，求 $AP + OP$ 的最大值；

（3）设抛物线 $C_{2}$ 的顶点为点 $C$ ，点 $B$ 的坐标为 $(- 1, - 4)$ ，问在 $C_{2}$ 的对称轴上是否存在点 $Q$ ，使线段 $QB$ 绕点 $Q$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到线段 $QB'$ ，且点 $B'$ 恰好落在抛物线 $C_{2}$ 上？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

$AB$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $A$ ，直线 $l$ 与 $⊙ O$ 相离， $OB ⊥ l$ 于点 $B$ ，且 $OB = 5$ ， $OB$ 与 $⊙ O$ 交于点 $P$ ， $AP$ 的延长线交直线 $l$ 于点 $C$ ．

（1）求证： $AB = BC$ ；

（2）若 $⊙ O$ 的半径为3，求线段 $AP$ 的长；

（3）若在 $⊙ O$ 上存在点 $G$ ，使 $ΔGBC$ 是以 $BC$ 为底边的等腰三角形，求 $⊙ O$ 的半径 $r$ 的取值范围．

某商店准备购进 $A$ 、 $B$ 两种商品， $A$ 种商品毎件的进价比 $B$ 种商品每件的进价多20元，用3000元购进 $A$ 种商品和用1800元购进 $B$ 种商品的数量相同．商店将 $A$ 种商品每件的售价定为80元， $B$ 种商品每件的售价定为45元．

（1） $A$ 种商品每件的进价和 $B$ 种商品每件的进价各是多少元？

（2）商店计划用不超过1560元的资金购进 $A$ 、 $B$ 两种商品共40件，其中 $A$ 种商品的数量不低于 $B$ 种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？

（3）端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件 $A$ 种商品售价优惠 $m (10 < m < 20)$ 元， $B$ 种商品售价不变，在（2）条件下，请设计出销售这40件商品获得总利润最大的进货方案．

如图，一次函数 $y = mx + n (m \neq 0)$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象交于第二、四象限内的点 $A (a, 4)$ 和点 $B (8, b)$ ．过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为点 $C$ ， $ΔAOC$ 的面积为4．

（1）分别求出 $a$ 和 $b$ 的值；

（2）结合图象直接写出 $mx + n < \frac{k}{x}$ 的解集；

（3）在 $x$ 轴上取点 $P$ ，使 $PA - PB$ 取得最大值时，求出点 $P$ 的坐标．