为了保护环境，发展低碳经济，某
单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本
（元）与月处理量
（吨）之间的函数关系可近似的表示为：
，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品
价值为100元．
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理
成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴
多少元才能使该单位不亏损？
（本小题满分13分）已知函数
．
（Ⅰ）求
的最小正周期；
（Ⅱ）求在
上的最大值与最小值．
（本小题满分13分）已知数列
是等差数列，且
．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列
是首项为2，公比为2的等比数列，求数列
的前
项和
．
（本小题满分13分）对于项数为
的有穷数列
，记
，即
为
中的最大值，则称
是的“控制数列”，各项中不同数值的个数称为的“控制阶数”．
（Ⅰ）若各项均为正整数的数列的控制数列
为
，写出所有的；
（Ⅱ）若
，
，其中
，是的控制数列，试用
表示
的值；
（Ⅲ）在
的所有全排列中，将每种排列视为一个数列，对于其中控制阶数为2的所有数列，求它们的首项之和．
（本小题满分14分）已知函数
，若在区间
内有且仅有一个
，使得
成立，则称函数
具有性质
．
（Ⅰ）若
，判断是否具有性质，说明理由；
（Ⅱ）若函数
具有性质，试求实数
的取值范围．
（本小题满分14分）已知函数
．
（Ⅰ）求函数
的单调区间;
（Ⅱ）若在
上是单调函数，求
的取值范围．