如图，在平面直角坐标系中，A（1，5），B（1，0），C（4-优题课

如图，在平面直角坐标系中，A（-1，5），B（-1，0），C（-4，3）

（1）求出的面积．
（2）在图中作出关于轴的对称图形．
（3）写出点的坐标．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：坐标与图形变化-旋转

如图，开口向下的抛物线 $y = a x^{2} - 8 ax + 12 a$ 与 $x$ 轴交于 $A, B$ 两点，抛物线上另有一点 $C$ 在第一象限，且使 $△ OCA \sim △ OBC$ .

（1）求 $OC$ 的长及 $BC : AC$ 的值；

（2）设直线 $BC$ 与 $y$ 轴交于 $P$ 点，点 $C$ 是 $BP$ 的中点时，求直线 $BP$ 和抛物线的解析式.

如图，点 $D$ 在以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 上，过 $D$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $AB$ 的延长线于点 $C, AE ⊥ CD$ 于点 $E$ ，交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，连接 $AD, FD$ .

（1）求证: $∠ DAE = ∠ DAC;$

（2）求证: $DF \cdot AC = AD \cdot DC$ ；

（3）若 $sin ∠ C = \frac{1}{4}, AD = 4 \sqrt{10}$ ，求 $EF$ 的长.

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y = - \frac{1}{4} x^{2} + \frac{3}{2} x + 4$ 与两坐标轴分别相交于 $A, B, C$ 三点.

（1）求证: $∠ ACB = 90^{\circ}$ ；

（2）点 $D$ 是第一象限内该抛物线上的动点，过点 $D$ 作 $x$ 轴的垂线交 $BC$ 于点 $E$ ，交 $x$ 轴于点 $F$ .

①求 $DE + BF$ 的最大值；

②点 $G$ 是 $AC$ 的中点，若以点 $C, D, E$ 为顶点的三角形与 $△ AOG$ 相似，求点 $D$ 的坐标.

如图，在四边形 $ABCD$ 中， $AD / / BC, ∠ ABC = 90^{\circ}, AD = CD, O$ 是对角线 $AC$ 的中点，连接 $BO$ 并延长交边 $CD$ 于点 $E$ .

（1）当点 $E$ 在 $CD$ 上，①求证: $△ DAC \sim △ OBC$ ；②若 $BE ⊥ CD$ ，求 $AD : BC$ 的值；

（2）若 $DE = 2, OE = 3$ ，求 $CD$ 的长.

如图，已知圆内接四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC, BD$ 交于点 $N$ ，点 $M$ 在对角线 $BD$ 上，且满足 $∠ BAM = ∠ DAN, ∠ BCM = ∠ DCN$ .求证:

（1） $M$ 为 $BD$ 的中点；

（2） $\frac{AN}{CN} = \frac{AM}{CM}$ .