（本小题满分12分）设，求实数的取值范围。-优题课

设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，点A的坐标为 $(b, 0)$ ，且 $|FB| \cdot |AB| = 6 \sqrt{2}$ .

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线l： $y = kx (k > 0)$ 与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q. 若 $\frac{|AQ|}{|PQ|} = \frac{5 \sqrt{2}}{4} sin ∠ AOQ$ (O为原点) ，求k的值.

设 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，公比大于0，其前n项和为 $S_{n} (n \in N^{*})$ ， $\{b_{n}\}$ 是等差数列.已知 $a_{1} = 1$ ， $a_{3} = a_{2} + 2$ ， $a_{4} = b_{3} + b_{5}$ ， $a_{5} = b_{4} + 2 b_{6}$ .

（I）求 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

（II）设数列 $\{S_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n} (n \in N^{*})$ ，

（i）求 $T_{n}$ ；

（ii）证明 $\sum_{k = 1}^{n} \frac{(T_{k} + b_{k + 2}) b_{k}}{(k + 1) (k + 2)} = \frac{2^{n + 2}}{n + 2} - 2 (n \in N^{*})$ .

如图， $AD / / BC$ 且AD=2BC， $AD ⊥ CD$ , $EG / / AD$ 且EG=AD， $CD / / FG$ 且CD=2FG， $DG ⊥ 平面 ABCD$ ，DA=DC=DG=2.

（Ⅰ）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证： $MN ∥ 平面 CDE$ ；

（Ⅱ）求二面角 $E - BC - F$ 的正弦值；

（Ⅲ）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.

已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.

（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？

（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.

（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；

（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.

在 $△ ABC$ 中，内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c.已知 $b \sin A = a \cos (B - \frac{π}{6})$ .

（1）求角 B的大小；

（2）设 a=2， c=3，求 b和 $\sin (2 A - B)$ 的值.