先化简，再求值：(1＋)÷，其中a＝3．-优题课

如图，在正方形 $ABCD$ 中， $E, F$ 分别是边 $BC, CD$ 上的点， $∠ EAF = 45^{\circ}, △ ECF$ 的周长为 $8$ ，求正方形 $ABCD$ 的面积.

如图，在正方形 $ABCD$ 中， $AB = 4$ ，点 $M$ 在 $CD$ 边上，且 $D M = 1$ ， $△ A E M$ 与 $△ ADM$ 关于 $AM$ 所在直线对称，将 $△ ADM$ 按顺时针方向绕点 $A$ 旋转 $90^{\circ}$ 得到 $△ ABF$ ，连接 $EF$ ，求线段 $EF$ 的长.

已知两个不相等的实数 $a ， b$ 满足 $a （ a - 2 ） = 2 ， b （ b - 2 ） = 2$ ，且 $5 m = \frac{a^{2}}{b} + \frac{b^{2}}{a}$ .

（1）求 $m$ 的值；

（2）已知自变量为 $x$ 的函数 $y = x^{2} + mx + n$ 交 $x$ 轴交于不同的两点 $A, B$ ，函数图象的顶点为 $C$ ，若 $△ ABC$ 是等边三角形，求 $n$ 的值；

（3）已知自变量为 $x$ 的函数 $y = m x^{2} - tx - m$ ，当 $- 1 ⩽ x ⩽ 1$ 时，总有 $y ⩽ 3$ 成立，求 $t$ 的取值范围.

如图，已知直线 $y = - \frac{1}{2} x$ 与拋物线 $y = - \frac{1}{4} x^{2} + 6$ 交于 $A ， B$ 两点.

（1）求 $A, B$ 两点的坐标；

（2）求线段 $AB$ 的垂直平分线的解析式；

（3）取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A，B两处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖 $P$ 在直线 $AB$ 上方的抛物线上移动，动点 $P$ 将与 $A, B$ 构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形?如果存在，求出最大面积，并指出此时点 $P$ 的坐标；如果不存在，请简要说明理由.

已知二次函数 $y = a x^{2} + bx + c$ 的图象开口向上，且经过点 $A (0, \frac{3}{2}), B (2, - \frac{1}{2})$ .

（1）求 $b$ 的值（用含 $a$ 的代数式表示）；

（2）若二次函数 $y = a x^{2} + bx + c$ 在 $1 ⩽ x ⩽ 3$ 时， $y$ 的最大值为1，求 $a$ 的值；

（3）将线段 $AB$ 向右平移 $2$ 个单位得到线段 $A^{'} B^{'}$ .若线段 $A^{'} B^{'}$ 与抛物线 $y = a x^{2} + bx + c + 4 a - 1$ 仅有一个交点，求 $a$ 的取值范围.